En algunos textos, hay tres grupo de axiomas y en algunos hay cuatro. La diferencia es que uno de los axiomas, el cierre ( $a,b\in G$ $a*b \in G$ ) se omite. ¿Por qué es esto así?
Respuestas
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Cuando tres son los axiomas dados (asociatividad, la existencia de una identidad, la existencia de inversos), estos son los axiomas que se aplican a un conjunto de $G$ con una operación binaria. Una operación binaria es, por definición, una función de$G\times G$$G$, lo que significa que por cada par ordenado $(a,b)$ de los elementos de $G$, existe un único elemento (denotado $a*b$ o $ab$ o de alguna otra manera) de $G$ determinado por la operación. Por lo tanto, el "cierre axioma" se incorpora en la definición de una operación binaria en un conjunto.
Gudmundur Orn
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853
Sin conocer el contexto completo, voy a suponer que tales textos definidos $*$ 'operación binaria,' o alguna otra definición que de alguna manera engloba cierre dentro de ella, pero está un poco escondido. He leído un texto que asume también la asociatividad de la operación binaria, de modo que todo lo que se necesitaba era la existencia de la identidad y a la inversa. Pero, la definición de un conjunto con una operación binaria o un grupo con una arbitraria de la operación de que se cierra y asociativo es más o menos la misma cosa.
Al final del día, el grupo de operación está cerrada y asociativa, independientemente de la forma explícita o implícita en el libro lo hace.
Sé que he escrito esto sin saber el contexto exacto, pero ¿es eso cierto? Hizo uso de la libreta de algunos pre-definidos o operador especificado?
lhf
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83572
Declarando de cierre permite explícitamente la definición de un subgrupo de ser simplemente un subconjunto que es un grupo al restringir el grupo de operación.
El punto aquí es que al restringir la operación de $G$ a un subconjunto $H$, se obtiene un mapa de $H \times H \to G$, y para el cierre de $H$ significa que este mapa es en realidad $H \times H \to H$.
Suponiendo que el cierre ya implícito en la definición de la operación binaria está bien, pero hacen que la definición de los subgrupos poco más prolijo.
Por supuesto, esto es una cuestión de gustos y de diferentes escritores elegir diferentes definiciones de acuerdo a su gusto.
