Estructura matemática necesaria y suficiente para el continuo espacio-tiempo

Question

En física, a menudo decimos que el espacio-tiempo es una colección (conjunto) de todos los eventos (ocurrencias idealizadas de extensión cero en el espacio-tiempo, los "aquí y ahora"). Además, se dice que el espacio-tiempo es un continuo. Por continuo, al menos en el caso euclidiano $(\mathbb{R}^3)$, se nos da una intuición ingenua que dice: si hay dos puntos, sin importar cuán cerca estén el uno del otro, siempre habrá más puntos entre ellos. De alguna manera, esta intuición se traslada al caso del espacio-tiempo también, y no entiendo completamente cómo.

Me gustaría saber cuál es la definición más rigurosa y la construcción más minimalista del continuo espacio-tiempo. A partir de algunas exposiciones sobre geometría diferencial introducidas en cursos de relatividad general, adivino ingenuamente lo siguiente:

1. La noción de continuidad se estudia en topología. Así que se modela el espacio-tiempo como una variedad topológica $4$-dimensional (localmente isomorfa a $\mathbb{R}^4$).
2. En la definición intuitiva anterior ("si hay dos puntos ... más puntos entre ellos") consideramos al menos dos puntos (eventos). Por lo tanto, debemos ser capaces de distinguir dos puntos en la variedad dada. Hasta donde entiendo, para lograr esto se requeriría algún axioma de separabilidad. Como a los físicos les gusta que su espacio-tiempo esté bien comportado, generalmente se asume que la variedad espacio-tiempo tiene la propiedad de Hausdorff.
3. Ahora debemos entender la cercanía de los puntos. Para mí, suena como si necesitáramos un espacio métrico para tener una noción de distancia. Por lo tanto, debemos considerar una métrica en la variedad. A partir de este punto, no entiendo cómo proceder. Porque el espacio-tiempo viene con una métrica de firma lorentziana (firma $2$, geometría pseudo-riemanniana). Es decir, una variedad con métrica $(\mathscr{M},\mathbf{g})$ es localmente isomorfa a $(\mathbb{R}^4,\eta)$, donde la métrica lorentziana $\eta$ es ${\rm diag}(-1,1,1,1)$. Por lo tanto, mi intuición con respecto a la topología métrica estándar en $\mathbb{R}^4$, utilizando la cual se podrían haber definido las bolas abiertas $\epsilon$, se desmorona. Para las distancias definidas con la métrica $\eta$ no son positivas definidas.

Aquí está la(s) pregunta(s):

¿Cómo se define matemáticamente la noción de un continuo espacio-tiempo? ¿Es posible una definición de este tipo sin la métrica y solo a nivel de algunos constructos topológicos primitivos o necesitamos una métrica para definir un continuo? Si necesitamos una métrica, ¿cómo lidiamos con una métrica no positiva-definida como la que se encuentra en la geometría pseudo-riemanniana?

Para resumir

¿Cuáles son las nociones matemáticas necesarias y suficientes para construir un "continuo" espacio-tiempo?

La definición de espacio-tiempo dada por Hawking and Ellis (uno de los libros más matemáticamente rigurosos sobre el tema) puede ser útil en este contexto:

El modelo matemático que usaremos para el espacio-tiempo, es decir, la colección de todos los eventos, es un par $(\mathscr{M}, \mathbf{g})$ donde $\mathscr{M}$ es una variedad de $C^\infty$ de cuatro dimensiones conectada y Hausdorff y $\mathbf{g}$ es una métrica lorentziana (es decir, una métrica de firma + 2) en $\mathscr{M}$.

(P.S.: Soy un estudiante de física y tengo muy poca experiencia con matemáticas abstractas. Explicaciones físicas/intuitivas breves sobre los conceptos matemáticos utilizados en la respuesta serían de gran ayuda y serían muy apreciadas).

Answer 1

Primero, permítanme señalar que no existe tal cosa como una "condición necesaria y suficiente" para modelar el espacio-tiempo. Es un modelo, por lo que no puede ser una descripción exacta (y la Física tampoco responde la pregunta de "¿qué está sucediendo exactamente?").

La noción intuitiva de continuo no es solo algo como "entre dos puntos siempre hay más puntos", porque, como se menciona en los comentarios, esto permitiría los racionales $\Bbb{Q}$ o $\Bbb{Q}^n$. Lo que queremos es una forma de completitud, es decir, "sin agujeros". Así que realmente deberíamos trabajar con $\Bbb{R}^n$ como nuestro modelo.

Ahora, queremos generalizar, así que consideramos variedades topológicas $M$. Con esto, aún conservamos localmente ser homeomórficos a $\Bbb{R}^n$; esto es bueno porque como observador clásico, el espacio/tiempo a tu alrededor no tiene "agujeros", "inicio/fin" etc., es decir, las cosas lucen bien y como se espera. A continuación, dentro de la definición de una variedad topológica, están la condición de Hausdorff y la segunda numerabilidad.

• Para la propiedad de Hausdorff, una de las consecuencias agradables es que los límites son únicos; sin esta propiedad, toda nuestra teoría de análisis de pregrado sería desechada (o al menos, siendo muy generosos, requeriría modificaciones serias).
• La segunda numerabilidad es un poco más difícil de motivar, pero es una condición que dice aproximadamente "el espacio no es muy grande, teniendo en cuenta la topología". Tiene algunas consecuencias técnicas muy agradables, cuando se combina con otras propiedades, como la existencia de particiones de la unidad. Esto permite (al menos al hablar de variedades suaves) definir integrales, y obviamente la integración es un tema muy importante.
• Algunos autores requieren que las variedades estén conectadas, mientras que otros no. Por razones físicas, deberíamos requerir que la conectividad de $M$ porque la Física trata en última instancia sobre experimentos (por lo tanto mediciones), lo que significa que tenemos que interactuar con nuestro entorno, y no hay forma de interactuar (conectar, a través de un camino por ejemplo) con un componente diferente. Dicho esto, a veces, es conveniente por comodidad matemática permitir una variedad desconectada.

Así, nuestras nociones de espacio y tiempo como un continuo son capturadas, preliminarmente, por la noción de una variedad topológica. Lo que quiero decir con esto es que las variedades topológicas capturan la idea de "tener un buen montón de cosas sin importar cuán cerca mires". En el nivel de una variedad topológica, no hemos hecho ninguna declaración sobre la Física del espacio y el tiempo, simplemente hemos dicho cómo debería lucir el "escenario de fondo".

A continuación, llegamos a la idea de que una gran cantidad de Física se preocupa por entender los cambios en las cosas; cambios de cosas en "posición", cambios en "tiempo", así que ahora actualizamos nuestra hipótesis a tener una variedad suave $M$. Con una variedad suave, ahora podemos elevar todo nuestro conocido cálculo diferencial e integral de $\Bbb{R}^n$ a la variedad.

Bien, hasta ahora hemos acordado que para modelar matemáticamente una teoría Física de espacio y tiempo, se debe trabajar con una variedad suave $M$. Ahora, llegamos a la entrada Física. Por supuesto, lo VIP es la especificación de una métrica de Lorentz $g$; la firma $(-,+,\cdots,+)$ codifica nuestra comprensión del tiempo y el espacio (junto con la suposición de que $\dim M=4$ por supuesto, ¡pero somos libres de estudiar otras dimensiones:). También es cierto que en geometría Lorentziana, a diferencia de la geometría Riemanniana, no se pueden hablar de distancias entre puntos, pero no debes pensar en esto como decir que no tenemos forma de hablar sobre la "cercanía" de los puntos. Una de las cosas que nos da una topología es una noción de "cercanía", porque de lo contrario, ni siquiera podríamos hablar de límites.

Luego, mencionaré que el hecho de que usemos una métrica de Lorentz y, por lo tanto, no podamos definir distancias en general, ¡es muy intencional! No queremos poder hacer afirmaciones absolutas como "Alice y Bob están a 10 metros de distancia" o "todos experimentan el tiempo de la misma manera"; esta fue una de las percepciones ganadas solo en la relatividad especial, ni siquiera en la general. Todos son únicos, lo que significa que solo para una cierta curva suave podemos hablar de la "longitud" de esa curva, usando la fórmula $L(\gamma):=\int_a^b\sqrt{|g(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))|}\,d\lambda$. Por supuesto, coloco la palabra longitud entre comillas porque interpretamos esto como el tiempo (propio) para una curva tipo tiempo. Entonces, si tienes dos puntos diferentes en el espacio-tiempo, puedes intentar conectarlos con una curva tipo tiempo, y luego puedes afirmar significativamente que "para viajar desde el punto $A$ al punto $B$ a lo largo de esta trayectoria específica, transcurrirá ___ cantidad de tiempo (propio)". Este número del que hablamos depende del camino utilizado para unir los dos puntos, por lo que si tomas un camino diferente entre dos puntos, puedes esperar una respuesta diferente (una vez que reconocemos esto, el fenómeno de los gemelos, y muchas otras "paradojas" son mucho más fáciles de entender).

---

Bien, ahora tenemos una variedad Lorentziana suave $(M,g)$, y por razones físicas, $\dim M=4$ y $M$ debe estar conectado. Debido a la topología, tenemos una noción de "cercanía". Debo mencionar, sin embargo, que aunque no podemos cuantificar la "cercanía" usando la métrica de Lorentz $g$, la variedad sigue siendo metrizable, así que puedo imponer alguna métrica de distancia $d$. La única desventaja (y esta es importante) es que no tiene ninguna relación directa con la métrica de Lorentz $g$ en absoluto, por lo tanto, para todos los propósitos, es inútil. Además, por razones físicas, también se desea una orientación temporal, para que sepamos cuál es el "futuro".

Finalmente, permítanme señalar que en la relatividad general, a diferencia de la geometría, no se nos da la variedad $M$ a priori, ni se nos da la métrica de Lorentz $g$. Lo que debemos hacer es considerar desarrollos globales hiperbólicos máximos de conjuntos de datos iniciales. Aquí es donde aparece la naturaleza dinámica de la relatividad general (lea a Hawking y Ellis para más información), lo que significa que "construyes tu variedad y la métrica de Lorentz" resolviendo (este término requiere una definición precisa) las ecuaciones de Einstein.

Answer 2

Creo que es agradable pensar en las diferentes nociones de variedad.

• Una variedad topológica es un objeto que localmente se asemeja a $\mathbb R^n$ en términos de topología (es decir, en términos de información que se puede derivar de saber quiénes son los conjuntos abiertos; básicamente, la topología te dice la "forma" del espacio, o cómo están "pegados juntos" los puntos del espacio). Por ejemplo, puedes decir si una función definida en la variedad es continua o no.
• Una variedad diferenciable es una variedad topológica con, además, una estructura suave, que básicamente te da una forma de definir derivadas de funciones cuyo dominio o contradominio es el mismo espacio. Puedes definir el espacio tangente en un punto de la variedad; puedes decir si una función definida en la variedad es suave o no; puedes resolver de forma única ecuaciones diferenciales de primer orden... pero no tienes una definición de distancia entre puntos de la variedad. Esta noción, al igual que la anterior, no hace distinción entre objetos de "solo espacio" y de "espacio tiempo": para eso necesitas el siguiente paso.
• Una variedad riemanniana es una variedad diferenciable con, además, una métrica. Esto te permite definir la distancia entre dos puntos, a diferencia de los dos casos anteriores. En realidad puedes hacer mucho más, por ejemplo, construir geodésicas... Por supuesto, en el caso del espacio tiempo físico, se usa la noción de variedad pseudo-riemanniana en su lugar.

Entonces, si quieres definir una distancia, necesitas la tercera estructura. Pero si solo te importa que tu espacio tiempo sea "un continuo", diría que la primera noción es suficiente, es decir, simplemente necesitas asegurarte de que tu espacio sea localmente homeomorfo a $\mathbb R^4$ (es decir, isomorfo en el sentido topológico). Mor...

Answer 3

Con respecto al espacio-tiempo: la Mecánica Cuántica dice que no existe, ya que no tiene atributos medibles.

La mecánica clásica de sistemas de muchas partículas dice que el espacio-energía-tiempo del momento está íntimamente representado por campos locales de Maxwell, que son formas diferenciales cotangentes a un espacio-tiempo idealizado. Los campos puntuales no existen.

Mientras que los campos cotangentes interactúan armoniosamente con el espacio de fase de posición y momento de partículas masivas cargadas, la humanidad, a través de su equipo de observación óptica, toma el espacio con sus propiedades topológicas y métricas, compradas del espacio de momento, como la arena física primaria. Pero eso es una ilusión, como ya mencionó Platón.

En las últimas tres décadas, incluso la rama de ingeniería reaccionó: el tiempo astronómico es reemplazado por la frecuencia de inversión de espín en los átomos, la distancia métrica en el espacio es reemplazada por la resistencia cuántica Hall.

Para "distancias" subatómicas, todas las ideas de un continuo espacio-tiempo dejan de producir resultados sustanciales además de las discusiones filosóficas clásicas en interminables asociaciones de palabras.

La idea de un manifiesto global del espacio tiempo métrico del universo carece de evidencia directa simplemente por el corto tiempo de 50 años de observación. Todas las mediciones lejanas son nuevamente reconstrucciones dependientes del modelo a partir de datos espectrales de radio y ópticos. La reconstrucción del modelo cerrado del big bang del espacio tiempo es un área de texto de física popular desde el libro de Hawking, pero de ninguna manera es algo "real".