¿Las transformaciones de punto son necesariamente canónicas?

Question

Una transformación puntual $Q(q, t)$ solo modifica las coordenadas de ubicación, mientras que una transformación canónica, en general, también modifica las coordenadas de momento $Q(q, p, t)$.

En el contexto del formalismo Lagrangiano, generalmente se argumenta que tenemos total libertad para realizar transformaciones puntuales. Me preguntaba si esta libertad se extiende al formalismo Hamiltoniano.

Específicamente, ¿las transformaciones arbitrarias puntuales dejan inalterada la forma de las ecuaciones de Hamilton? En otras palabras, ¿las transformaciones en el espacio de fases que solo implican las coordenadas de ubicación $q$ son necesariamente canónicas?

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La condición definitoria de coordenadas canónicas es $$ \{Q, P\} = 1 $$ Por lo tanto, podemos verificar para una transformación puntual $$ Q = Q(q)$$ $$ P = p$$ si esta condición se cumple \begin{align} \{Q,P\} & = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} \\ &= \frac{\partial Q(q)}{\partial q} \frac{\partial p}{\partial p} - \frac{\partial Q(q)}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial q} \\ &= \frac{\partial Q(q)}{\partial q} \, . \end{align} En general, creo, este no es igual a uno o cualquier otra constante y, por lo tanto, las transformaciones puntuales no son canónicas.

Pero, por ejemplo, en el Vol. 1 de Landau-Lifshitz escriben:

"Dado que las ecuaciones de Lagrange no se ven afectadas por la [transformación puntual $Q_i = Q_i(q, t)$], las ecuaciones de Hamilton tampoco se ven afectadas."

Esto parece un argumento razonable. Sin embargo, el cálculo anterior muestra que eso no parece ser el caso. ¿Está equivocado Landau-Lifshitz o cometí un error en mi razonamiento?

Pienso que sería muy extraño si las transformaciones puntuales no fueran canónicas porque en casi todos los libros de Mecánica Clásica se menciona algo como lo siguiente:

"Dado que hay el doble de variables canónicas (q, p) que coordenadas generalizadas, el conjunto de transformaciones posibles es considerablemente mayor. Esta es una de las ventajas del formalismo canónico." (Calkin, Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana)

Por ejemplo, para citar una vez más a Landau-Lifshitz:

"La ampliación de la clase de posibles transformaciones es una de las ventajas importantes del tratamiento Hamiltoniano."

Answer 1

1. Sí, una transformación de puntos
   $$q^i \longrightarrow Q^i~=~f^i(q,t)\tag{1}$$ es una transformación canónica (CT) con una función generadora de tipo 2 $$ F_2(q,P,t)~=~\sum_{i=1}^nf^i(q,t)P_i, \tag{2}$$ cf. Ref. 1.

2. Alternativamente, es un ejercicio sencillo demostrar que una transformación de puntos (1) cuando se extiende al espacio de fases/la fibra cotangente $$ (q^i,p_j) \longrightarrow (Q^i,P_j)~=~\left(Q^i(q,t), \sum_{k=1}^n\frac{\partial q^k}{\partial Q^j}p_k\right) \tag{3}$$ es un simplectomorfismo, es decir, preserva las relaciones fundamentales/canónicas de corchete de Poisson. Aquí es importante darse cuenta de que los momentos canónicos $p_j$ se transforman como componentes de un covector/1-forma, cf. p. ej. esta y esta publicaciones de Phys.SE.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; ec. (9.26).

Answer 2

Entiende que la condición definitoria para una transformación canónica es que las ecuaciones de Hamilton permanezcan sin cambios.

Para una transformación puntual, de hecho puedes definir $q \rightarrow Q(q)$. Pero entonces el momento, que se define a partir del formalismo de Lagrange como

$$ p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} $$

debe cambiar también, de manera que

$$ P = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \neq p. $$

Fue tu suposición de que $P=p$ define una transformación puntual lo que era falso; uno no lidia con el momento como una variable en la mecánica lagrangiana, por lo que cuando discutimos transformaciones puntuales a menudo no se menciona esto.

Me imagino que podrías demostrar con éxito que esto representaba una transformación canónica, pero usar el hecho de que un jacobiano simpléctico implica una transformación canónica podría ser más fácil que tratar de usar corchetes de Poisson.