Proyección del vector en el plano XY

Question

¿Cómo encuentro la proyección ortogonal de un vector $\vec V_1=(2,3,4)^T$ formado con los puntos $A(0,0,5)$ y $B(2,3,9)$ en el plano $xy$?

Answer 1

En general, sea $P$ un plano que pase por el origen definido por la perpendicularidad a algún vector $n$. La proyección ortogonal de cualquier vector $v$ sobre $P$ se obtiene restando de $v$ el componente de $v$ perpendicular a $P, es decir, el componente de $v$ en la dirección de $n$.

El componente de $v$ en la dirección de $n$ es la proyección de $v$ en $\mathbb{R}n$. Esto es $\langle v, n \rangle n$. Por lo tanto, la proyección de $v$ en $P$ es $v - \langle v, n \rangle n$.

En tu caso, $P$ es el plano $xy$, $n = (0,0,1)$, y $v = (2,3,4)$, entonces $v - \langle v, n \rangle n = (2,3,4) - \langle (2,3,4), (0,0,1) \rangle (0,0,1) = (2,3,4) - (0,0,4) = (2,3,0)$ como en la respuesta de Agusti Roig.

Answer 2

De esta manera:

$$ (2,3,0) \ . $$

Porque

$$ (2, 3, 4) - (2, 3, 0) = (0, 0, 4) $$

es ortogonal al plano $xy$.