¿De cuántas maneras puedo combinar $m$ y $n$ elementos sin alterar el orden en cada grupo?

Question

Tengo dos listas con todos elementos distintos. Una contiene $m$ elementos y la otra contiene $n$ elementos. Necesitamos organizarlos de manera que no se altere el orden de los elementos de cada lista.

Ejemplo -
para lista1=[1,2], lista2=[3,4]
m=2,n=2
El total de formas de organizarlos será -
1-2-3-4
1-3-2-4
1-3-4-2
3-4-1-2
3-1-2-4
3-1-4-2

No logro encontrar una solución general. PD: Esto no es una tarea.

Answer 1

La respuesta de Ross ya es perfecta (y en mi opinión debería ser aceptada como la respuesta correcta) - es la forma correcta de pensar en esta pregunta y ofrece perspicacia al problema.

Sin embargo, solo quería agregar una forma bastante general de abordar este tipo de problemas, donde estás contando posibilidades sujetas a restricciones simétricas.

No siempre da una respuesta particularmente simplificada (o por esa misma razón, perspicaz), pero a menudo es un enfoque alternativo útil.

La idea es la siguiente:

• Primero, contar cuántas posibilidades hay sin ninguna restricción.

• En segundo lugar, dividir por el número de veces que hemos contado cada objetivo.

En este caso, podemos considerar las posibilidades totales como todas las $(m+n)!$ ordenaciones totales de los $m+n$ elementos. Sin embargo, solo queremos contar las ordenaciones objetivo donde cada uno de los $m$ elementos de la lista 1 y los $n$ elementos de la lista 2 están en el orden original.

Observa sin embargo, que podemos emparejar cada ordenamiento objetivo con $m! \cdot n!$ ordenaciones totales colocando los $n$ elementos de la lista 1 en un orden arbitrario, y los $m$ elementos de la lista 2 en otro orden arbitrario.

Es decir, la posibilidad objetivo 1,2,3,4 está representada por las posibilidades generales 1,2,3,4; 2,1,3,4; 1,2,4,3 y 2,1,4,3

Por lo tanto, para obtener el número de posibilidades objetivo, dividimos para obtener: $\frac{(m+n)!}{m! \cdot n!} = \binom{m+n}{m}$.

Disculpas, no he explicado esto muy bien, pero espero que tenga sentido.

Answer 2

Pista: Sabes cuántas ranuras totales hay en la lista final. Simplemente elige un conjunto de esas ranuras para recibir los elementos de la primera lista y todo estará determinado.