Creo que debería ser así ya que para $(0,1]$ podemos usar el teorema de extensión continua y para $x>1$ es Lipschitz (ya que se encuentra por debajo de la línea $y=x$). ¿Qué hay de mal en este argumento? Este argumento también demuestra que $\sin (x^2)$ es uniformemente continua (¡lo cual es incorrecto!) Gracias de antemano por cualquier ayuda.
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Phonics The Hedgehog
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Sea $g(x) = x\sin x.$ Tomemos $n$ un entero positivo, $a_n = 2n\pi -\pi/2, b_n = 2n\pi + \pi/2$. entonces $g(a_n) = -a_n, g(b_n) = b_n$ dentro del intervalo $[-a_n, b_n]$ de longitud $4n \pi + \pi$ contiene $2n$ períodos completos. es decir, $2n$ puntos en los cuales $f$ toma $-1$ y $2n$ puntos entrelazados en los que $f$ toma $1$. el intervalo promedio es $\pi/2n$ y la pendiente de la recta secante es $4n/\pi.$ por el teorema del valor medio, hay un punto con la pendiente exacta. al dejar que $n$ tienda a infinito, se puede ver que $f$ no puede ser continuo de Lipschitz en $[0, \infty)$
Vim
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¿Conoces el Teorema de Cantor? Si una función en un intervalo cerrado $[a,b]$ es continua, entonces es uniformemente continua en $[a,b]$.
Para tu $f(x)=\sin(x\sin(x))$, es obvio que para todos los intervalos cerrados $[a,b]$ que son un subconjunto de $\mathbb R$, $f(x)$ es u.c.
Así que lo que importa es cuando $x$ tiende a infinito.
Y tal vez hay una idea errónea que aclarar: que $f(x)$ sea u.c. en cualquier intervalo cerrado en $\mathbb R$ nunca significa que sea u.c. en $[a,+\infty),(-\infty,b]$ o $\mathbb R$. Tomemos $f(x)=x^2$ por ejemplo, no es u.c. en $[0,+\infty)$.
Eso es todo lo que sé sobre u.c. (Lo siento pero solo soy un estudiante de primer año). Solo espero que pueda serte de ayuda.
