Probabilidad con Martingales:
Quiero intentar mostrar lo último
$$\left[\limsup \frac{|S_n|}{n}\right] = \infty \ \text{c.p.}$$
lo cual es equivalente a
$$\forall k \in \mathbb N$$
$$\left[\limsup \frac{|S_n|}{n}\right] \ge k \ \text{c.p.}$$
Lo que intenté:
Supongo que no puedo utilizar BCL2 como hice para
$$\left[\limsup \frac{|X_n|}{n}\right] = \infty \ \text{c.p.} \tag{*}$$
ya que aunque $\{X_n\}_{n \in \mathbb N}$ son independientes, $\{S_n\}_{n \in \mathbb N}$ no lo son. Sin embargo, supongo que no necesito hacerlo. Intenté usar $(*)$:
$$(*) \iff \forall k \in \mathbb N$$
$$\left[\limsup \frac{|X_n|}{n}\right] \ge k \ \text{c.p.}$$
$$\iff \limsup \frac{|S_n - S_{n-1}|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
$$\to \limsup \frac{|S_n| + |S_{n-1}|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
$$\to \limsup \frac{|S_n|}{n} + \limsup \frac{|S_{n-1}|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
$$\iff \limsup \frac{|S_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.} \ \text{o} \ \limsup \frac{|S_{n-1}|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
Ahora:
$$\limsup \frac{|S_{n-1}|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
$$\iff \limsup \frac{|S_{n} - X_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
$$\to \limsup \frac{|S_n|}{n} + \limsup \frac{|X_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
$$\iff \limsup \frac{|S_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.} \ \text{o} \ \limsup \frac{|X_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
Estoy atascado. Parece que lo máximo que puedo concluir es
$$\limsup \frac{|S_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.} \ \text{o} \ \limsup \frac{|X_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
¿Cómo puedo enfocar esto, por favor?
¿Puedo deducir de alguna manera
$$\limsup \frac{|S_n|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
a partir de
$$\limsup \frac{|S_{n-1}|}{n} \ge k \ \text{c.p.}$$
?
