Demostrando que $[0,1]^{\omega}$ en la topología de la caja no es compacto

Question

Aquí está mi intento de demostrar esto, ¿alguna idea si es completamente correcto?

Sea $U^{(0)}=[0,\frac{3}{5}), U^{(1)}=(\frac{2}{5},1]$. Sea $x=(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una secuencia arbitraria de $0's$ y $1's$ en la colección $C$ de todas las secuencias infinitas de $0's$ y $1's$. Con cada secuencia $x$ en esta colección, se asocia una secuencia de subconjuntos de $[0,1]$ definida por $$U_{nx}= \begin{cases} U^{(1)} &\text{ si } x_n=1 \\ U^{(0)} & \ \text{si} \ x_n=0\end{cases}$$. Entonces la colección $S$ de todos los productos de la forma $\prod_{n \in \mathbb{N}} U_{nx}$, que son abiertos en $[0,1]^{\omega}$ donde $x$ varía sobre el conjunto de todas las secuencias binarias, es una cobertura abierta para $[0,1]^{\omega}$ con la topología de caja. Dado que para cualquier $k \in \mathbb{N}$ hay al menos dos elementos en $S$ tales que el factor $k$-ésimo en los productos difiere. Ahora, si se elimina cualquier elemento de $S$, una de las secuencias infinitas $x$ se eliminará de $C$, y esta secuencia tendrá exactamente una coordenada que difiere de todas las demás secuencias en un $0$ o $1$ en digamos la posición $m$. Así que el factor $m$-ésimo en el producto de la unión de todos los elementos de esta nueva colección $S'$ será $[0,\frac{3}{5})$ o $(\frac{2}{5},1]$ y por lo tanto la colección al eliminar el elemento de $S$ no cubrirá $[0,1]^{\omega}$. Por lo tanto, dado que $S$ es infinito, cualquier subconjunto finito de $S$ ciertamente no cubrirá el espacio.

Answer 1

Es correcto pero podría ser expresado de manera mucho más clara. El punto clave, que viste pero no afirmaste explícitamente, es que para cada $x\in C$, el conjunto $\prod_nU_{nx}$ es el único elemento de $S$ que contiene a $x$. Tu argumento para esto podría ser mucho más claro. Claramente $x\in\prod_nU_{nx}$. Sin embargo, si $y\in C\setminus\{x\}$, hay un índice $k$ tal que $y_k\ne x_k$. Pero entonces $x_k\notin U_{ky}$, por lo que $x\notin\prod_nU_{ny}$.

$S$ es de hecho una cubierta abierta irreducible de $[0,1]^\omega$: cada elemento de $S$ contiene un punto que no está en ningún otro elemento de $S$, por lo que ningún subconjunto propio de $S$ cubre $[0,1]^\omega$.

Nota que esencialmente el mismo argumento se puede usar para demostrar que el producto de cajas $\{0,1\}^\omega$ no es compacto (donde $\{0,1\}$ tiene la topología discreta): aquí estás trabajando directamente con $C$ como un producto de cajas. Dado que este espacio es un subconjunto cerrado de $[0,1]^\omega$, esa es otra forma de ver que $[0,1]^\omega$ no puede ser compacto: si lo fuera, todos sus subconjuntos cerrados también serían compactos.