¿Por qué necesitamos un conjunto abierto para definir la diferenciabilidad?

Question

La definición general de una aplicación diferenciable es,

Sea U un conjunto abierto en Rn, y sea 'a' en U y f:Rp. Entonces f es una aplicación diferenciable en 'a' si existe un Df(a) en Hom(Rn, Rp) tal que;

lim(xa)(||f(x)-f(a)-Df(a)(x-a) ||)/(||x-a||)=0

¿Por qué U necesariamente es un conjunto abierto?

Answer 1

Necesitamos que se mueva "libremente" y no llegue al límite de $U$ donde no podemos movernos de la manera que queremos. Otra cosa es que necesitas tener una forma agradable y práctica del dominio de la función, para que puedas elegir entre $U$ siendo abierto o cerrado en $\mathbb R^n$. Ahora, si $U$ está cerrado, a veces podemos tener un grado de libertad debido al límite de $U$. Entonces, a veces $f$ mapearía $U$ a $\mathbb R^{n-1}$. Para superar esto, elegimos que $U$ sea abierto, para que la imagen de cada elemento a través de $f$ sea un vector de $n$ variables.