Sea $X$ un espacio topológico pero que no es un espacio uniforme y $U$ sea un entorno de la diagonal $X$, $\Delta_X$. ¿Existe un entorno $D(\neq \Delta_X)$ de $\Delta_X$ tal que $D\circ D \subseteq U$?
Respuesta
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richard
Puntos
1
La respuesta es positiva siempre que $X$ sea un espacio paracompacto $T_1$. Para demostrar esto, utilizaremos definiciones y notaciones de las pp. 302-304 de "General Topology" de Ryszard Engelking (2da ed., Heldermann, Berlín, 1989), ver abajo.
Dado que $U$ es un entorno de la diagonal $\Delta_X$, para cada $x\in X$ podemos elegir su entorno abierto $U_x$ tal que $U_x\times U_x\subset U$. Por el Teorema 5.1.12.ii, un recubrimiento abierto $\{U_x:x\in X\}$ del espacio $X$ tiene una refinación bariocéntrica abierta $\mathcal V$. Pongamos $D=\bigcup \{V\times V:V\in \mathcal V\}$. Entonces $D$ es un entorno de $\Delta_X$. Afirmamos que $D\circ D\subset U$. En efecto, sea $(x,z)\in D\circ D$ un punto arbitrario. Existe un punto $y\in X$ tal que los puntos $(x,y)$ y $(y,z)$ pertenecen a $D$. Por lo tanto, existen elementos $V_x$ y $V_y$ de $\mathcal V$ tales que $\{x,y\}\subset V_x$ y $\{y,z\}\subset V_z$. Entonces $\{x,z\}\subset V_x\cup V_z\subset \operatorname{St}(y,\mathcal V)\subset U_t$ para algún $t\in X$. Luego $(x,z)\in U_t\times U_t \subset U$.
