Entonces, en el problema me dieron la función de densidad conjunta $f(x,y) = x + y$, $0 < x < 1$, $0 < y < 1$, $0$ en otros lugares. Se me pide encontrar $P( x + y \le 1)$.
Mi intuición fue hacer $\int_0^1\int_{1-x}^1 (x+y) \, dy \, dx$ trabajando en eso, obtuve la respuesta de 50%. ¿Es correcta mi intuición?
Debería ser $$ \int_0^1\int_0^{1-x}(x+y) \, dy \, dx $$ lo cual evalúa a $\frac{1}{3}$.
Debido a que la densidad es $x+y$, las regiones con altos valores de $x,y$ tienen más probabilidad. Por lo tanto, la intuición debería indicar que $\{x+y\leq 1\}$, el triángulo inferior del rectángulo unitario, debería tener una probabilidad menor que el triángulo superior del mismo rectángulo. Es decir, deberías esperar que $\Pr(x+y\leq 1)\leq\frac{1}{2}$.
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