Unificar las conexiones entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas

Question

Existen muchas, muchas conexiones entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran aquí. Probablemente sea demasiado optimista esperar que una sola idea pueda explicar todas estas conexiones, pero ¿hay una forma holística de ver los paralelismos entre $\sin$ y $\sinh$, $\cos$ y $\cosh$? ¿Todas estas conexiones aparentemente dispares se pueden mostrar como esencialmente iguales, o al menos muy similares?

Conexiones geométricas

• El seno y coseno parametrizan el círculo unitario $x^2+y^2=1$, al igual que el seno hiperbólico y coseno hiperbólico parametrizan la 'hipérbola unitaria' $x^2-y^2=1$. Tanto círculos como hipérbolas son secciones cónicas.
• El sector del círculo que conecta los puntos $(0,0)$, $(1,0)$, y $(\cos t,\sin t)$ tiene un área de $t/2$. La región de la hipérbola que conecta los puntos $(0,0)$, $(1,0)$, y $(\cosh t,\sinh t)$ tiene un área de $t/2$. Incluso se puede usar esto para definir las funciones hiperbólicas de manera geométrica, y muchos autores hacen lo mismo con las funciones trigonométricas.
• Seno y seno hiperbólico son funciones impares, mientras que coseno y coseno hiperbólico son funciones pares. Pero seno y coseno son funciones periódicas, a diferencia de sus contrapartes hiperbólicas.
• El análogo de la identidad $\cos^2x+\sin^2x \equiv 1$ es $\cosh^2x-\sinh^2x \equiv 1$. Las fórmulas de ángulos compuestos son casi idénticas a sus contrapartes hiperbólicas, salvo por un molesto signo negativo: \begin{align} \sin(x+y) &= \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) \\ \sinh(x+y) &= \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y) \\[4pt] \cos(x+y) &= \cos(x)\cos(y) \color{red}{-} \sin(x)\sin(y) \\ \cosh(x+y) &= \cosh(x)\cosh(y) \color{blue}{+} \sinh(x)\sinh(y) \, . \end{align}
• En general, dada una función trigonométrica, es posible escribir la identidad hiperbólica correspondiente utilizando la regla de Osborn: reemplace cada aparición de $\cos$ con $\cosh$; reemplace cada aparición de $\sin$ por $\sinh$; pero niegue el producto de dos términos $\sinh$.

Conexiones analíticas

• $\sin$ es la solución única al problema de valor inicial \begin{align} f''(x) &= \color{red}{-}f(x) \\ f'(0) &= 1 \\ f(0) &= 0 \, , \end{align} y el problema de valor inicial correspondiente para $\sinh$ es el mismo, excepto que $f''(x) = \color{blue}{+}f(x)$.
• De manera similar, el problema de valor inicial para $\cos$ es \begin{align} f''(x) &= \color{red}{-}f(x) \\ f'(0) &= 0 \\ f(0) &= 1 \, , \end{align} y de nuevo vemos un cambio misterioso de signo para $\cosh$: $f''(x) = \color{blue}{+}f(x)$.
• Se sigue que las derivadas de orden superior de $\sin$ y $\sinh$ forman secuencias periódicas.
• Si resolvemos los problemas de valor inicial mostrados arriba, obtenemos las formas exponenciales de las $4$ funciones: \begin{align} \sin x &= \frac{e^{\color{green}{i}x}-e^{-\color{green}{i}x}}{2\color{green}{i}} \quad{} \cos x = \frac{e^{\color{\green}{i}x}+ e^{-\color{green}{i}x}}{2} \\[3pt] \sinh x &= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \quad{} \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \, . \end{align}
• Todas las $4$ funciones son analíticas, y sus series de Taylor tienen un parecido sorprendente entre sí: \begin{align} \sin x &= x \color{red}{-} \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \color{red}{-} \frac{x^7}{7!} + \ldots \\[4pt] \sinh x &= x \color{blue}{+} \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \color{blue}{+} \frac{x^7}{7!} + \ldots \\[4pt] \cos x &= 1 \color{red}{-} \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \color{red}{-} \frac{x^6}{6!} + \ldots \\[4pt] \cosh x &= 1 \color{blue}{+} \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \color{blue}{+} \frac{x^6}{6!} + \ldots \end{align}
• Y la fórmula de Euler $$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $$ es reemplazada por la poco impresionante $$ e^x = \cosh x + \sinh x \, . $$

Answer 1

En mi opinión, creo que cuando conoces

$$\sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} ~~~~~ \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$

puedes derivar todas las identidades trigonométricas circulares.

Si agregas la transformación "Wick" $ x \to ix$ entonces entrarás en el mundo hiperbólico, con todas las identidades consiguientes.

$$\sin(ix) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2i} = i\frac{e^x - e^{-x}}{2} = i\sinh(x) ~ \longrightarrow ~ \sinh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Y de forma similar para $\cosh(x)$.

Answer 2

Sí; de hecho todos pueden rastrearse hasta el mismo punto, y es un punto que mencionaste en tu pregunta. Una cosa importante a tener en cuenta es que en Matemáticas puede haber muchas definiciones equivalentes de conceptos que pueden llevar a uno al otro, por ejemplo se puede definir $\pi$ como la razón de la circunferencia al diámetro; o el área al cuadrado del radio. Ambos son equivalentes.

De manera similar podemos definir estas funciones geométricamente,

Y a partir de ahí obtener ecuaciones diferenciales que describan las funciones, y a partir de eso obtener sus definiciones exponenciales; esto puede usarse para unificar todos los puntos que mencionaste, la Identidad Pitagórica, suma de ángulos, Serie de Taylor y la definición exponencial.

Alternativamente podríamos haber definido estas funciones en términos de sus definiciones exponenciales (como sugiere @Turing), y a partir de eso obtener la Identidad Pitagórica, suma de ángulos, Serie de Taylor y definición geométrica.

La última opción es mucho más fácil, pero la primera es cómo llegamos a entender esta familia de funciones históricamente.

Answer 3

Las funciones trigonométricas están relacionadas con el exponencial imaginario $e^{iv}=\cos v+i\sin v$.

Las funciones hiperbólicas están relacionadas con el exponencial real $e^{u}=\cosh u+\sinh u$.

Ambas son casos especiales del exponencial complejo $e^z=e^{u+iv}$.

Las secciones cónicas asociadas se obtienen por

$$1=e^{iv}e^{-iv}=(\cos v+i\sin v)(\cos v-i\sin v)=\cos^2u-i^2\sin^2u,$$

$$1=e^{v}e^{-v}=(\cosh v+\sinh v)(\cosh v-\sinh v)=\cosh^2u-\sinh^2u.$$

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Una EDO unificadora es

$$z''''=z$$ dando el polinomio característico $$\omega^4=1,\\\omega=\pm1,\pm i$$

y la solución

$$z=a\cos t+b\sin t+c\cosh t+d\sinh t.$$

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Solamente piensa

$$\text{real}\leftrightarrow\text{imaginario}.$$

Answer 4

La conexión entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas se vuelve más íntima cuando se introducen números split-complejos: los números de la forma $a+bj$, donde $j^2=1$ y $j\ne \pm 1$.

Usando series de Taylor, se puede encontrar fácilmente que $$ e^{jx} = \cosh x + j\sinh x , \quad \sinh x = \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}, \quad \cosh x = \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2}. $$

Uno puede entender $\cos x$ y $\sin x$ como las partes real e imaginaria de la exponencial compleja $e^{ix}$. Del mismo modo, $\cosh x$ y $\sinh x$ son las partes real y 'imaginaria' de la exponencial split-compleja $e^{jx}$.

La analogía se puede resumir de la siguiente manera: $$ \begin{align} & &&\textbf{Números Complejos} && \textbf{Números Split-Complejos} \\ &\text{Unidad Imaginaria:} && i^2 = -1, && j^2 = 1, \\ &\text{Números:} && z = a+bi, && z = a+bj, \\ &\text{Módulo:} && |z| = \sqrt{a^2+b^2}, && |z| = \sqrt{a^2-b^2} \; (\text{para } a^2 \ge b^2), \\ &\text{Fórmula de Euler:} && e^{ix} = \cos x + i \sin x, && e^{jx} = \cosh x + j \sinh x, \\ &\text{Teorema de Pitágoras:} && |e^{ix}| = \cos^2 x + \sin^2 x =1, && |e^{jx}| = \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, \\ &\text{Significado Geométrico:} && \text{Círculo Unitario,} && \text{Hipérbola Unitaria (rama derecha)}. \\ \end{align} $$

La conexión está en la correspondencia: $$ \begin{pmatrix} \text{complejo} \; i \\ \sin, \; \cos \end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{pmatrix} \text{split-complejo} \; j \\ \sinh, \; \cosh \end{pmatrix}. $$

Uno puede usar la imaginación para decir que $\sin$, $\cos$ y los números complejos provienen del mundo elíptico, mientras que $\sinh$, $\cosh$ y los números split-complejos son sus contrapartes del mundo hiperbólico.

Answer 5

La relación cerrada entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas se puede demostrar en el ejemplo de los Polinomios de Chebyshev del Primer Tipo $$T_n(x) = \begin{cases} \cos(n\arccos x),\;\text{si}\;|x|\le 1\\ \cosh(n\text{ arccosh } x),\;\text{en otro caso}. \end{cases} $$ Este ejemplo muestra que las funciones hiperbólicas pueden ser una adición adecuada a las trigonométricas en el análisis real.