Sea $a_n$ una secuencia tal que $a_n>0$ para todo $n$. Me gustaría construir una secuencia tal que $$ \lim_{k\to +\infty}\frac{(\sum_{j=1}^{k}2^ja_j)(\sum_{j=1}^{k}2^ja_j^{-1})}{(\sum_{j=1}^{k}2^j)^2}=\infty. $$ Note que por la desigualdad de Holder tenemos que $\frac{(\sum_{j=1}^{k}2^ja_j)(\sum_{j=1}^{k}2^ja_j^{-1})}{(\sum_{j=1}^{k}2^j)^2}\geq 1$. Pero no sé si hay una secuencia $a_n$ que satisfaga $\frac{(\sum_{j=1}^{k}2^ja_j)(\sum_{j=1}^{k}2^ja_j^{-1})}{(\sum_{j=1}^{k}2^j)^2}$ ilimitada desde arriba.
Respuesta
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Good Boy
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Sea $a_n := 2^n$. Entonces, por la fórmula de la serie geométrica $(\ast)$, obtenemos
1) $$\sum_{j=1}^k 2^j a_j = \sum_{j=1}^k 4^j \stackrel \ast = \frac {4^k-1}{4-1}=\frac {4^k-1}3,$$
2) $$\left(\sum_{j=1}^k 2^j\right)^2 \stackrel \ast = \left(\frac{2^k-1}{2-1}\right)^2=(2^k - 1)^2.$$
También,
3) $$ \sum_{j=1}^k 2^j a_j^{\,-1} = \sum_{j=1}^k 1 = k.$$
Juntando todo esto, tu expresión se simplifica a:
$$\lim_{k\to\infty}\left(\frac {4^k-1}{3(2^k - 1)^2}k \right)= \lim_{k\to\infty}\left(\frac {\left(1-\frac 1 {4^k}\right)}{3\left(1 - \frac 1 {2^k}\right)^2}k \right) = \infty,$
porque la fracción converge a $1/3$, para un $k$ lo suficientemente grande, será mayor que $1/4$, digamos. ¡Así que tu expresión en $k$ eventualmente estará limitada por debajo por $k/4$, así que explota!
