El espacio dual de $c$ es $\ell^1$

Question

Aquí es lo que sé/hasta ahora:

Sea $c_0\subset\ell^\infty$ la colección de todas las secuencias que convergen a cero. Probar que el espacio dual $c_0^*=\ell^1$.

$Prueba$: Sea $x\in c_0$ y sea $y\in\ell^1$. Afirmamos que $f_y(x)=\sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ es un funcional lineal acotado. Claramente $f_y$ está acotado ya que $$ |f_y(x)|=\left|\sum_{k=1}^\infty x_ky_k\right|\le\sum_{k=1}^\infty |x_k||y_k|\le||x_k||_\infty\sum_{k=1}^\infty |y_k|=||x_k||_\infty||y||_1. $$ También podemos ver fácilmente que $f_y$ es lineal. Sea $x,z\in c_0$ y $y\in\ell^1$ entonces $$ f_y(x+z)=\sum_{k=1}^\infty (x_k+z_k)y_k=\sum_{k=1}^\infty (x_ky_k+z_ky_k)=\sum_{k=1}^\infty x_ky_k+\sum_{k=1}^\infty z_ky_k=f_y(x)+f_y(z) $$ y para $\alpha\in\mathbb{R}$ $$ f_y(\alpha x)=\sum_{k=1}^\infty \alpha x_k=\alpha\sum_{k=1}^\infty x_k=\alpha f_y(x). $$

Sea $\varepsilon>0$ y como $y\in\ell^1$, sabemos que $\sum_{k=1}^\infty |y_k|$ converge. Entonces existe $N\in\mathbb{N}$ tal que cuando $n>N$ tenemos que $$ \sum_{k=n}^\infty |y_k|<\varepsilon. $$ Ahora definimos la siguiente secuencia $x=\{x_k\}_{k=1}^\infty$ como $$ x_k=\begin{cases} \operatorname{sgn}(y_k),&\,k\le N\\ 0, & \,k>N \end{cases}. $$ Así que $x\in c_0$ y

$$ \begin{align} \left|f_y(x)-||y||_1\right|&=\left|\sum_{k=1}^\infty x_ky_k-\sum_{k=1}^\infty |y_k|\right|\\ &=\left|\sum_{k=1}^N\operatorname{sgn}(y_k)y_k-\sum_{k=1}^\infty |y_k|\right|=\left|\sum_{k=1}^N |y_k|-\sum_{k=1}^\infty |y_k|\right|=\left|\sum_{k=N+1}^\infty |y_k|\right|<\varepsilon. \end{align} $$

Por lo tanto concluimos que
\begin{equation} \ell^1\subseteq c_0^*. \end{equation} Observamos que el argumento anterior también establece que $||f_y||_*=||y||_1$.

Ahora sea $f$ cualquier funcional lineal en $c_0$ y sea $\{e_k\}$ la secuencia con un 1 en la posición $k$ y cero en otras partes. Entonces para cualquier $x\in c_0$ tenemos $$ |f(x)|=\left|f\left(\sum_{k=1}^\infty e_kx_k\right)\right|=\left|\sum_{k=1}^\infty f(e_k)x_k\right|\le\sum_{k=1}^\infty |f(e_k)|\,|x_k|\le||x||_\infty\sum_{k=1}^\infty |f(e_k)|. $$ Como $f$ es un funcional acotado, debe ser que $\sum_{k=1}^\infty |f(e_k)|$ converge, de lo contrario $f(x)$ sería no acotado. Por lo tanto $\{f(e_k)\}_{k=1}^\infty\in c_0$ y concluimos que \begin{equation} c_0^*\subseteq\ell^1. \end{equation} Entonces (1) y (2) nos dicen que $$c_0^*=\ell^1.$$

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PREGUNTAS: Si tomamos $c$ como la colección de secuencias que convergen a algún número real y $c^*$ como su espacio dual, sé que $c^*=\ell^1$ también, pero no estoy seguro cómo probarlo. ¿Es suficiente observar que si $x\in c$ y que $x\to x'$ entonces $x-x'\in c_0$, por lo tanto, tienen el mismo espacio dual? Estoy un poco confuso aquí, obviamente.

También, ¿alguien puede mejorar mi entorno de alineación? No puedo entender cómo hacer que compile correctamente. El código se ve bien en mi implementación de LaTeX, pero no funciona aquí.

Answer 1

El último argumento donde dices que $ f(x) $ sería no acotado no parece válido ya que solo tienes $ f(x) \leq \Vert x \Vert_\infty \sum_{k = 1}^\infty | f (e_k) |$. Si $\sum_{k = 1}^\infty | f (e_k) | = \infty$, no obtienes ningún absurdo. Podría proceder de la siguiente manera (asumiendo $f \neq 0$): Para cada $n$, la secuencia $ x ^ n = (\text {sgn} (f (e_1)), \ldots, \text {sgn} (f (e_n)), 0 \ldots) $ está en $ c_0 $ y tiene una norma $\leq 1$, por lo que $ \sum_{i = 1} ^ n | f (e_i) | = | f (x ^ n) | \leq \Vert f \Vert $. Esto muestra que $ (f (e_1), f (e_2), \ldots) \in \ell ^ 1 $.

Ahora, sobre tu próxima pregunta: Primero, verifica que $ c = c_0 \oplus \mathbb {R} $. Luego $ c ^ * = c_0 ^ * \oplus \mathbb{R}^* = \ell ^ 1 \oplus \mathbb{R} = \ell ^ 1$, donde el último isomorfismo está dado por $((x_1, x_2, x_3, \ldots), \lambda) \mapsto (\lambda, x_1, x_2, x_3 \ldots)$.

Answer 2

Luiz tiene razón sobre tu prueba. Para solucionarlo, considera lo siguiente:

Sea $f \in c_0^*$, entonces define $y = [y_1, y_2, ... ,y_n, ...]$ por $y_i = f(e_i), \forall i$. Observa que, si $f \in c_0^*$ entonces al ser un funcional lineal acotado tenemos que $\sup \{f(x) : x \in c_0^* \text{ y } \|x\| = 1 \} = M < \infty$. En particular, el limsup tomado sobre la familia de elementos $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, donde $x_n = [\text{sgn}f(e_1) , \text{sgn}f(e_2), ... \text{sgn}f(e_n),\alpha, \alpha, ...]$ es finito. Por lo tanto $$\sum_{n=1}^{\infty} |y_i| = \limsup_{x_n} f(x_n) < \infty, $$ Consecuentemente, $y \in \ell^{1}$ y ahora tenemos un método para definir un $y \in \ell^{1}$ a partir de un $f \in c_{0}^*$. Así que tu mapeo $\varphi : \ell^{1} \rightarrow c_{0}^*$ ahora tiene una inversa. Dado que mostraste que conserva normas, y ahora que tiene una inversa debe ser una isometría. Por lo tanto, creaste una incrustación isométrica de $\ell^{1}$ en $c_0^*$ para mostrar que los dos espacios vectoriales son "iguales".

En cuanto a tu pregunta posterior, nota que si defines $c_{\alpha} = \{ x \in \ell^{\infty} : x_n \rightarrow \alpha\}$ entonces este es un espacio vectorial, si y solo si $\alpha = 0$ ya que si $x,y \in c_{\alpha}$ entonces $x+y \in c_{2\alpha}$.

Answer 3

Supongo que quizás necesites mostrar que

(i) el mapa $y \mapsto f_y$ es inyectivo, y

(ii) el mapa $f \mapsto (f(e_k))_{k \geqslant 1}$ también es inyectivo.