Considerar 2-d de las superficies en 3-d (a sugerencia de un comentario, digamos cerrado conectado 2-dim suave colectores, incrustado en la dimensión 3) con área finita. La esfera tiene la interesante propiedad de que si usted toma cualquiera de las dos planos paralelos que ambos se cruzan la esfera, y medir el área de la parte de la esfera entre los dos planos, la respuesta sólo depende de la distancia entre los dos planos, independientemente de las posiciones u orientaciones de los planos. ¿Esta propiedad garantiza automáticamente que un 2-d de la superficie (que se define como el anterior) en 3-d es una esfera? Mi intuición es que la respuesta es sí. Si es así, ¿hay alguna manera fácil de ver?
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chaiwalla
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La afirmación es verdadera para una superficie cerrada de rotación; la prueba es una buena aplicación de la fórmula del área de una superficie de rotación, el teorema fundamental del cálculo y la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias por separación de variables (en el primer año de cálculo herramientas).
De improviso, el caso general, se ve Difícil.
Editado para añadir: he Aquí un esbozo de las superficies de rotación. Para mayor brevedad, vamos a decir $S$ constante del área de las zonas de si el área de la porción de $S$ entre los dos planos paralelos que se cruzan $S$ sólo depende de la distancia entre los planos.
Suponga $S$ es barrido por girar la gráfica de $y = f(x)$ de positivos, $C^1$ función acerca de la $x$-eje. El área de la zona de $a \leq x \leq b$, $ds$ denota el elemento de longitud de arco de la curva de perfil, $$A(a, b) = 2\pi \int_a^b y\, ds = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2}\, dx.$$ En consecuencia, $S$ ha constantes área de zonas si y sólo si existe un número real $C > 0$ tal que $A(a, b) = 2\pi C(b - a)$ todos los $a$ $b$ en el dominio de $f$.
La fijación de $a$ y diferenciando con respecto a $b$ da $$f(b)\sqrt{1 + f'(b)^2} = C.$$ En particular, $f(b) \leq C$ todos los $b$, ya que el radical no es más pequeña que la de $1$.
Si $f(b) = C$ todos los $b$ en algún intervalo, la parte correspondiente de $S$ es un cilindro. De lo contrario, podemos suponer $f(b) < C$ en algún intervalo. Reordenando la ecuación anterior da $$\frac{f(b) f'(b)}{\sqrt{C^2 - f(b)^2}} = 1,$$ que se integra fácilmente a $f(b) = \sqrt{C^2 - b^2}$ (hasta de traducción en $b$), y la parte correspondiente de $S$ es una zona de una esfera de radio $C$. (Comentario: Nota de la no unicidad de la solución en virtud de la condición inicial $f(b_0) = C$!)
La combinación de todo esto, si $S$ es una superficie de rotación de tener constante-área zonas (con respecto a los planos ortogonales al eje de rotación), a continuación, $S$ es un cilindro infinito, un medio infinito cilindro con un hemisférica de la tapa del extremo, un almacén de cilindro con dos semiesférica de tapas, o una esfera.
Entre estas superficies, sólo la esfera tiene la solicitada (más fuerte) propiedad de tener constante del área de las zonas con respecto a la arbitraria planos paralelos.
Deje $\alpha>0$ ser el número tal que el área de la superficie entre los dos planos a distancia $d$ aparte es $\alpha d$. También, vamos a $A$ ser el área total de la superficie. Luego de cada proyección de la superficie sobre la que una línea es un intervalo de longitud de $A/\alpha$ (esta propiedad, siendo de ancho constante, ya fue señalado por rghthndsd y Andrew D. Hwang).
Podemos asumir que el centro de masa de la superficie de la $S$ en cuestión es el origen. La proyección de $S$ sobre una línea a través del origen no cambiar el centro de la masa. Por lo tanto, esta proyección es de un intervalo de longitud de $A/\alpha$ con punto medio en $c$. De ello se sigue que la función de apoyo del casco convexo de $S$ es constante, es decir,$ A/(2\alpha)$. Por lo tanto, el casco convexo de la superficie es una esfera sólida (una pelota) $B$, debido a que un cuerpo convexo está determinada por su función de apoyo.
Supongamos $p\in \partial B\setminus S$. Desde $S$ es un subconjunto compacto de $B$, e $p$ es un punto extremo de $B$, se deduce que el $p$ es separado de $S$ por un plano. Pero, a continuación, $p$ no puede estar en el casco convexo de $S$, una contradicción. Llegamos a la conclusión de que $\partial B\subseteq S$. Pero si un (conectado) de la superficie contiene una esfera, es una esfera. $\quad \Box$
Alternativa, la analítica de la prueba. Deje $\nu$ ser el de la medida de superficie de $S$ y definir $$\widehat \nu(\xi)=\int \exp(-i\xi\cdot x)\,d\nu(x),\quad \xi\in\mathbb R^3 \tag1$$ es decir, la transformada de Fourier de $\nu$. Dado que el integrando sólo depende de $\xi\cdot x$, la integral (1) puede escribirse en términos de la proyección de la $\nu$ a la línea en la dirección $\xi$ (es decir, pushforward de $\nu$ bajo la proyección del mapa). Por supuesto, este pushforward es el lineal de la medida de Lebesgue restringida al intervalo de $[-A/(2\alpha),A/(2\alpha)]$ y se multiplica por $\alpha$.
Considere la posibilidad de la esfera con un radio $A/(2\alpha)$ centrada en el origen. Deje $\mu$ ser un múltiplo de su superficie a medir, normalizado por $\mu(\mathbb R^3)=A$. Luego de la proyección de $\mu$ a cada línea es la misma que la correspondiente proyección de $\nu$. Por lo anterior, $\widehat \mu=\widehat \nu$. Puesto que la transformada de Fourier es inyectiva, se deduce que el $\mu=\nu$ e lo $S$ es la esfera. (E $\alpha=\sqrt{\pi A}$, por el camino.) $\quad\Box$
Observación. No necesitamos ninguna hipótesis sobre la topología: este es un hecho acerca de las medidas. Se podría enunciar como: una medida de Radón en $\mathbb R^3$ para que cada proyección lineal fijo es un múltiplo de medida de Lebesgue en un intervalo es un múltiplo de la de la medida de superficie de una esfera. (No sé si fijo puede ser eliminado, es decir, si podemos permitir que el coeficiente a depender de la dirección de proyección.)
OJW
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Un poco demasiado largo para un comentario. Aquí hay algunos avances (espero!):
Deje $S$ ser la superficie que satisface las propiedades de la OP, vamos a $a$ $b$ ser cualquiera de los dos puntos de $S$ que son de la máxima distancia y dejar que esta distancia se $d$. Tomar cualquier punto de $p$ (no tiene que ser en $S$), cualquier línea de $\ell$ a través de $p$, y deje $T_1$ $T_2$ dos planos con la normal de la $\ell$ a partir off `en el infinito" y deslice hacia cada uno de los otros a lo largo de $\ell$. Dejar de deslizamiento de ellos tan pronto como alcanzó al menos un punto en $S$. Entonces por simple rotación de los planos de la comparación de a $a$$b$, se puede demostrar que:
(i) cada uno de Ellos golpeó exactamente en un punto;
(ii) Los dos puntos de golpe son de la máxima distancia $d$ aparte; y
(iii) Los planos $T_1$ $T_2$ es la de la tangente a los planos de estos puntos.
Parece insondable cualquier cosa con tal propiedad no puede ser una esfera, pero no he sido capaz de demostrar que todavía. Uno puede imaginar que hay puntos que no se pueda obtener por este proceso (creo que de una esfera con un hueco en uno de los lados, aunque esto es descartado (ii)).
Edit: Corrección de cualquier punto de $p$ $\mathbb{R}^3$ y definir un mapa de $\varphi : S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ como sigue. La identificación de $p$ con el centro de la $S^2$, un punto de $s \in S^2$ determina una línea a través de $p$ junto con una orientación ("up" en el sentido de $s$). Deslizamiento de un plano normal a esta línea de abajo ", desde el infinito", parando cuando nos topamos con un (único!) punto en $S$ da el punto en $\mathbb{R}^3$, el cual se define como $\varphi(s)$.
Deje $s \in S^2$. Considerando el plano tangente de $S$ en el punto de $\varphi(s)$, uno puede ver fácilmente que el mapa de $\varphi$ es continua. De hecho, se puede considerar una función en $S$ el envío de un punto a su distancia desde el plano tangente. Teniendo en cuenta esta función en la región cerrada de $S$, que está lejos de una $\varepsilon$ abierto barrio de $\varphi(s)$, se alcanza un mínimo. Si este mínimo es cero, entonces el plano tangente hits en dos puntos ($\varphi(s)$ y dondequiera que el mínimo se produce) y esto contradice a (iii) anteriores. Por lo tanto, podemos encontrar una $\delta > 0$ tal de que la alteración del punto de $s \in S^2$ "$\delta$ " dejará $\varphi(s)$ dentro de esta $\varepsilon$ barrio.
Deje $S_0 = \varphi(S^2)$. Luego de este conjunto tiene las siguientes propiedades:
(i) $S_0$ está conectado; y
(ii) existe una constante $d$ tal que para cada punto de $a \in S_0$, el máximo de más de $|a-b|$ $b \in S$ siempre $d$.
Me gustaría pensar que estas dos propiedades de la fuerza de $S_0$ a ser un subconjunto de una esfera. No tendría, entonces, que siga $S_0 = S$ y, debido a $\varphi$ envía un punto de $S^2$ para el punto con el mismo plano tangente, que $\varphi$ es el mapa de identidad (en escala adecuada la radio).
Agus Puryanto
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246
Usted debe ver el papel de "Kim, Dong-Soo, Kim, Young Ho Algunas de las caracterizaciones de las esferas y elíptica de paraboloides. Álgebra Lineal Appl. 437 (2012), no. 1, 113-120. "
Parece que esta pregunta es debido a Blaschke, de hecho, el más intresting caso está considerando sólo una distancia fija d entre los planos paralelos.
Joseph Perkins
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94
Un útil clase de compactos de conjuntos convexos con los no-vacío interior llama simétrica cuerpos convexos puede dar un geométrica ejemplo de esto. Un cuerpo convexo $K \subset \mathbb{R}^n$ es simétrica si $k \in K \Leftrightarrow -k \in K$, lo que significa que antipodal puntos puede ser utilizado como una especie de base para el cómputo de la superficie de la región de $K$ que usted describe. La respuesta de Andrew también funciona, pero cuerpos convexos no son necesariamente genera como una superficie de rotación, por lo que esta es una clase más general de compacto de conjuntos convexos usted está interesado en.
