Expresión del propagador euclidiano para una partícula sin masa

Question

Deje que $\Delta_F(\tilde{x})$ denote el propagador de Feynman en la variable euclidiana $\tilde{x}$, en $D$ dimensiones, $$\Delta_F(\tilde{x}) = \int \frac{\text{d}^D\tilde{p}}{(2\pi)^D}\frac{e^{i\,\tilde{p}\cdot\tilde{x}}}{\tilde{p}^2+m^2}.\tag{1}$$

Dado que esta expresión es invariante bajo $\mathrm{O}(D)$, uno puede cambiar variables a coordenadas esféricas y simplificar la expresión, obteniendo $$\Delta_F(\tilde{x}) = \frac{S_{D-2}}{(2\pi)^D}\int_0^{\infty}\int_0^{\pi} \text{d}\tilde{p}\text{d}\theta\,\frac{\tilde{p}^{D-1}}{\tilde{p}^2+m^2}e^{i\,\tilde{p}\cdot\tilde{x}}\, \left(\sin(\theta)\right)^{D-2}.\tag{2}$$

Para $m = 0$, $$\Delta_F(\tilde{x}) = \frac{S_{D-2}}{(2\pi)^D}\int_0^{\infty}\int_0^{\pi} \text{d}\tilde{p}\text{d}\theta\,\tilde{p}^{D-3}\, \left(\sin(\theta)\right)^{D-2}e^{i\,|\tilde{p}||\tilde{x}|\cos(\theta)}.\tag{3}$$

Sin embargo, se supone que se debe obtener $$\Delta_F(\tilde{x}) = \frac{1}{(D-2)S_{D-1}}\frac{1}{r^{D-2}}.\tag{4}$$

¿Alguna idea de cómo se puede proceder más allá?

Editar: Había olvidado agregar algunos pasos adicionales.

Editar 2: Utilizando $u = i\,|\tilde{p}||\tilde{x}|\text{cos}(\theta)$ como se sugiere, $$\Delta_F(\tilde{x}) = \frac{S_{D-2}}{(2\pi)^D}\int_0^{\infty}\int_0^{\pi} \text{d}u \text{d}\theta\,(\tan(\theta))^{D-2}\,\frac{u^{D-3}e^{u}}{(ir)^{D-2}}.\tag{5}$$

¿Falta alguna identidad que involucre funciones gamma?

Answer 1

$$ e^{ip\cdot x}= e^{i|p|r \cos \theta} $$

Answer 2

Aquí hay un método:

1. Introduce una parametrización de Schwinger de $\frac{1}{\tilde{p}^2+m^2}$.

2. Haz la integral gaussiana de $D$ dimensiones sobre $\tilde{p}$.

3. Caso $m=0$. Haz una sustitución en la integral restante sobre el parámetro de Schwinger, de manera que se convierta en una representación integral conocida para la $\Gamma$ función. (Por cierto, la dependencia de $r$ sigue únicamente del análisis dimensional).

4. Caso $m>0$. Identifica la integral restante como una representación integral para la función de Bessel modificada de segunda especie.