Cómo demostrar que si $|X|<|Y|$, $|Y|<|Z|$ entonces $|X|<|Z|$ sin el teorema de comparación de conjuntos bien ordenados (CSB)? Es inmediato que $|X|\leq |Z|$ así que intenté suponer que $|X|=|Z|$ y llegar a una contradicción, pero hasta ahora no pude.
Respuesta
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Creo que es una cuestión de definiciones.
Sea $≤$ un preorden. Definimos la equivalencia inducida por $x \sim y \iff x ≤ y$ y $x ≥ y$. También definimos la variante estricta inducida por $x < y \iff x ≤ y$ y $x \nsim y \iff x ≤ y$ y $x \ngeq y$.
Ahora podemos demostrar el siguiente teorema general: Si $≤$ es un preorden, entonces $<$ es un orden estricto (es decir, una relación antirreflexiva transitiva).
En tu caso, el preorden es $|X| ≤ |Y|$ definido como "existe una inyección de $X$ en $Y$". También hay una equivalencia $|X| = |Y|$ definida como "existe una biyección entre $X$ y $Y$". Esta equivalencia es más fina que la equivalencia inducida por el preorden. Sin embargo, CSB exactamente dice que son iguales. Entonces, si defines $|X| < |Y|$ como la variante estricta, obtienes el resultado del teorema general, pero si lo defines usando la equivalencia más fina, necesitas CSB.
De hecho, se puede demostrar que necesitas CSB. Puedes probar CSB a partir de tu proposición si la definición se basa en la equivalencia más fina. Supongamos $|X| ≤ |Y|$ y $|Y| ≤ |X|$. Si no hay una biyección entre $X$ y $Y$, entonces $|X| < |Y| < |X|$ por lo que $|X| < |X|$, lo cual es una contradicción.
