¿Cómo puedo probar que αβ = 0 ⇐⇒ α = 0 o β = 0?

Question

Sean |X|= y |Y|=?, donde X e Y son conjuntos.

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Supongamos =0, luego mostramos que =0 o =0
Ya que =0, =|X×Y|=0
Por lo tanto, X×Y = {(x,y)|(xX)^(yY)} = *
Por lo tanto, X=0 o Y=0.
Por lo tanto, |X|=0 o |Y|=0. es decir, =0 o =0

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Supongamos =0 o =0, luego mostramos que =0
Ya que =0 o =0, X=0 o Y=0.
Luego, X×Y = {(x,y)|(xX)^(yY)} = *
Por lo tanto, |X×Y|=0.
Por lo tanto, = 0.

Answer 1

Prueba. Supongamos para una contradicción que $\alpha \neq 0 \wedge \beta \neq 0$. Sea $A$ un conjunto de cardinalidad $\alpha$ y $B$ un conjunto de cardinalidad $\beta$. Dado que $A$ no está vacío, tiene al menos un punto, llámelo $a$. Dado que $B$ no está vacío, tiene al menos un punto, llámelo $b$. Por lo tanto, $A \times B$ tiene al menos un punto, en particular $(a,b)$. Por lo tanto, $A \times B$ no está vacío. Entonces $|A \times B| \neq 0$. Por lo tanto, $|A||B| \neq 0$. Entonces $\alpha \beta \neq 0.

Para ser honesto, no estoy seguro de cómo verificar uno de los principios que utilicé, específicamente: $$|A| \neq 0 \rightarrow \exists a \in A(\mathrm{Verdadero})$$

¿Alguna idea? Observo que esto no se cumple intuicionísticamente.