¿Cómo interpretar lógicamente esta pregunta sobre distribución normal (tiempo de viaje)?

Question

Estaba tratando de comprender la siguiente pregunta:

Supongamos que el tiempo de viaje desde tu casa a tu oficina se distribuye normalmente con una media de $40$ minutos y una desviación estándar de $7$ minutos. Pregunta: ¿Si quieres estar $95\%$ seguro de que no llegarás tarde a una cita en la oficina a la $1$ p.m., cuál es la hora más tarde a la que deberías salir de casa?

Hay algunas cosas que me confunden. Conozco la fórmula para la distribución normal pero aún no logro entender lógicamente la pregunta.

Se dice que el tiempo medio de viaje es de $40$ minutos. ¿La pregunta básicamente me está pidiendo cuál es el tiempo mínimo de viaje que debo darme a mí mismo para que con una probabilidad del $95%$ llegue a la oficina a la $1$ p.m.? ¿Verdad? No puedo convertir esto en matemáticas. Cualquier pista será apreciada.

Tal vez, veamos una pregunta más simple: ¿Cuál sería la probabilidad de llegar a tiempo si comienzo mi viaje exactamente $40$ minutos (que es la desviación estándar) antes de la $1$ p.m?

Answer 1

Tal vez intente un caso y piense de esta manera:

Suponga que tiene $40$ minutos de sobra. Si le lleva $40$ minutos o menos llegar, llegará a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que si elige un tiempo al azar de esta distribución, obtenga un tiempo de $40$ minutos o menos? PISTA: Puede que quiera pensar en un valor $z$ para $40$.

Con esa idea en mente, debería ver por qué quiere que el $95$% de los valores del tiempo de viaje sean menores o iguales a su tiempo de viaje para llegar a tiempo. Dada esa probabilidad o proporción de valores, ¿podría encontrar tal vez un valor $z$ correspondiente a esa proporción? ¿A qué tiempo de viaje correspondería ese valor $z$?

Answer 2

Pista: La probabilidad de que necesites menos de $x$ minutos para llegar al trabajo es $$P (X

Answer 3

Una distribución normal es simétrica. Por lo tanto, si la media es 40 y la desviación estándar es 7, las probabilidades de que esté dentro de más o menos 1 sigma son aproximadamente del 67% (más o menos 68.5, pero es más fácil pensar en dos tercios). En otras palabras, el 67% del tiempo estará entre 33 y 47 minutos, y de esos, la mitad del tiempo (33% del tiempo en total) en la mitad superior y la misma cantidad (aproximadamente 33%) en la inferior. En otras palabras, el restante aproximadamente 33% se dividirá entre menos de 33 o más de 47.

Eso es un sigma. Dos sigmas cubren el rango de 26-33 y 47-54. El 95% de las probabilidades se dividen en este rango, aproximadamente 2.5% en cada uno.

Esta pregunta parece diseñada para obligarte a buscar un poco. El 95% del tiempo en total estarás entre 26-40 minutos o 40-54. Si la pregunta fuera "si quieres estar un 97.5% seguro de llegar en 40 minutos" deberías salir 14 minutos antes, en el minuto 26 - porque los retrasos que hacen que el viaje dure 14 minutos más solo ocurren el 2.5% del tiempo (no te importa el 2.5% - o realmente el 97.6% que lo hace más corto que 54 minutos; este es el problema de 'una cola/dos colas').

Ahora, busca en una tabla el valor real que tiene una probabilidad unidireccional del 5%.