¿Problema de palabras con palabra de pregunta diferencial?

Question

La ley de Joule es una ley física que expresa la relación entre el calor generado por una corriente que fluye a través de un semiconductor.

Se establece que $Q=I^2Rt$ donde q es el calor en julios, generado por una corriente constante I (en amperios A) que fluye a través de un conductor de resistencia eléctrica R en ohmios durante un período de tiempo t en segundos s.

Utilizando una estimación diferencial, se calcula la cantidad por la cual aumentará el calor si la corriente aumenta de 16 A a 16.6 A, la resistencia aumenta de 2 a 2.1 ohmios, y el intervalo de tiempo aumenta de 10 a 10.1 minutos.

Para mi problema hice

$\Delta q=\frac{dq}{dI} \Delta I+\frac{dq}{dt} \Delta t+\frac{dq}{dr} \Delta r$

$\frac{dq}{dI}=2IRt$

sustituí mis valores $2(16)(2)(1)=640$

$\frac{dq}{dt}=I^2R(1)$

$(1)^2(2)=512$

$\frac{dq}{dr}=I^2t$

$(16)^2(1)=2560$

Luego hice

$640(.6)+512(.1)+2560(.1)$

$\Delta q=691.2$

Pero no estoy seguro si mi solución es correcta porque el intervalo de tiempo está en minutos pero t está en segundos.

Answer 1

No dejemos caer nuestras unidades:

En $I=16 \text{ amperios}$, $R=2\text{ ohmios}$ y $t=10\text{ minutos}$,

$\dfrac{\partial Q}{\partial I}=2IRt=2\cdot16 \text{ amperios}\cdot2\text{ ohmios}\cdot10\text{ minutos}$

$\dfrac{\partial Q}{\partial R}=I^2t=16^2 \text{ amperios}^2\cdot10\text{ minutos}$

y $\dfrac{\partial Q}{\partial t}=I^2R=16^2 \text{ amperios}^2\cdot2\text{ ohmios}$

Puedes simplificar estas unidades aquí o al final cuando llegues a tu respuesta final:

Al evaluar $\Delta Q=\dfrac{\partial Q}{\partial I} \Delta I+\dfrac{\partial Q}{\partial t} \Delta t+\dfrac{\partial Q}{\partial R} \Delta R$, deberías obtener (como ya obtuviste), $691.2 \text{ amperios$^2$ ohmios minutos}$.

Físicamente, esta unidad es equivalente a la de la unidad de energía, pero no es obvio que este sea realmente el caso. Por lo tanto, nos gustaría reescribir nuestra respuesta en una unidad más reconocible.

Dado que un $\text{ohmio = }$ $\dfrac{\text{voltio}}{\text{amperio}}$ y un $\text{amperio voltio }=\text{ julio segundo$^{-1}$}$, tu unidad

$\text{amperio$^2$ ohmio minuto}= \text{amperio$^2$} \dfrac{\text{voltio}}{\text{amperio}}\text{ minuto}=\text{amperio voltio}\text{ minuto}=\text{ julio segundo$^{-1}$ minuto.}$

Entonces tu respuesta es equivalente a $691.2 \text{ amperios$^2$ ohmios minutos}=691.2\text{ julios segundo$^{-1}$ minuto}$. Un minuto dividido por un segundo es $60$, por lo que la unidad se puede reescribir como $60\cdot \text{julios}$.

Así que tu respuesta es $691.2\cdot60\cdot\text{ julios}=41472 \text{ julios}$ (también puedes empezar convirtiendo todas tus unidades a unidades del SI, en cuyo caso aún llegarías a la respuesta correcta).