Nombre para algún tipo de norma/error logarítmico

Question

Como se sabe $(\mathbb R, +)$ y $(\mathbb R^{+}, \cdot)$ son isomorfos con $\exp:\mathbb R\to\mathbb R^{+}$ como un isomorfismo. Cuando transfiero el valor absoluto $|\cdot|$ en $(\mathbb R, +)$ a través de $\exp:\mathbb R\to\mathbb R^{+}$ obtengo la norma $\|\cdot\|_{\log}$ en $(\mathbb R^{+}, \cdot)$ que está definida por $$\|a\|_{\log}=|\log(a)|$$ y la distancia $$\operatorname{dist}_{\log}(a,b) = \left|\log\left(\frac ab\right)\right| = |\log(a)-\log(b)|$$

Mi pregunta: ¿Existe un nombre para la norma $\|\cdot\|_{\log}$ o para el error/distancia $\operatorname{dist}_{\log}(a,b)$? ¿Me puedes orientar hacia un libro/artículo donde se discutan las propiedades de esta norma/distancia?

Razón de mi pregunta: Estoy interesado en aritmética de intervalos donde los intervalos se definen de la siguiente manera:

$$\begin{align} [a]_\epsilon &= \left\{ y \in \mathbb R^{+}: \left\|\frac{y}{a}\right\|_{\log} = |\log(y)-\log(a)| < \epsilon \right\} \\ &= \left[ae^{-\epsilon};ae^{\epsilon}\right] \end{align}$$

Desafortunadamente no sé cómo se llama la norma $\|\cdot\|_{\log}$ ni el error $|\log(y)-\log(a)|$. Por lo tanto, no sé qué buscar...

Answer 1

La métrica $$ \mathrm{dist}(x,y) = |\ln(x) - \ln(y)| = \left| \ln\left( \frac{x}{y} \right) \right| $$ se utiliza frecuentemente en el análisis de datos composicionales, donde fue introducida por J. Aitchison. Se conoce como la distancia de log-ratio.

Es mucho menos conocido que esta métrica también aparece en la distribución log-normal. Convencionalmente, la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal se escribe como $$ f_\mathcal{LN}(x \mid \mu,\sigma^2) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} \exp\left( -\dfrac{ \left(\ln(x) - \mu \right)^2 }{2\sigma^2} \right). $$ Sin embargo, ciertas relaciones conceptuales, como la participación de la distancia al cuadrado de las observaciones a la media, están ocultas en esta expresión. De hecho, si se parametriza con la media geométrica $m =\mathrm{e}^\mu$, la función de densidad de probabilidad se convierte en $$ \begin{array}{rcl} f_\mathcal{LN}(x \mid m,\sigma^2) &=& \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 x^2}} \exp\left( -\dfrac{ \left| \ln(x) - \ln(m) \right|^2 }{2\sigma^2} \right) \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 x^2}} \exp\left( -\dfrac{ \mathrm{dist}^2(x,m) }{2\sigma^2} \right). \end{array} $$