Mostrando $\frac{x+y+z}{\sqrt 2}\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{x^2+z^2}$

Question

Mostrando $\frac{x+y+z}{\sqrt 2}\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{x^2+z^2}$ $(x,y,z>0)$

¿Puedo aplicar Jensen aquí, la suma de las raíces cuadradas es mayor que la raíz cuadrada de la suma, por lo que hago que el RHS sea más pequeño y luego también muestro que la desigualdad es válida, es decir,

$\frac{x+y+z}{\sqrt 2}\le\sqrt{2(x^2+y^2+z^2)}$

Al elevar al cuadrado ambos lados tenemos en la izquierda,

$\left(\frac{x+y+z}{\sqrt 2}\right)^2=\frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}\le\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{2}$

y en la derecha tenemos $2(x^2+y^2+z^2)$, por lo que es cierto

Si está bien, ¿puedes sugerir otra prueba relacionada más con Cauchy-Schwarz?

Answer 1

Pista: Nota que $\sqrt{2(a^2+b^2)} \geq a+b, ~\forall a,b\in \mathbb{R}$ y úsalo para derivar la desigualdad deseada.

Answer 2

Recuerde que $\|(x,y,z)\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Por C-S

$$x+y+z= (x,y,z)\cdot (1,1,1) \le \|(x,y,z)\|\|(1,1,1)\|=\|(x,y,z)\|\sqrt{3}.$$

Pero por desigualdad triangular (que se sigue de C-S):

$$\|(x,y,z)\| = \frac 12 \|(x,y,0) +(0,y,z)+ (x,0,z)\|\le \frac 12 \left(\|(x,y,0)\|+\|(0,y,z)\|+\|(x,0,z)\|\right).$$

Resumiendo:

$$(*)\quad x+y+z \le \frac{\sqrt{3}}{2}\left ( \|(x,y,0)\|+\|(0,y,z)\|+\|(x,0,z)\|\right).$$

Pero $\frac{\sqrt{3}}{2}<1<\sqrt{2}$, y estamos listos.