Estoy confundido por la definición de la derivada covariante iterada de Arthur Besse en la p. 25 de su libro "Einstein Manifolds". Él escribe:
1.17 Sea ∇ una conexión lineal en un haz vectorial E sobre M. Para cualquier sección s en E, ∇s es una sección de T∗M⊗E. Ahora sea D una conexión lineal en M. Entonces D y ∇ inducen una conexión lineal (que aún denotamos por ∇) en T∗M⊗E, por lo que podemos definir ∇(∇s) y denotarlo por ∇2s. Es la sección de T(2,0)M⊗E definida por (∇2s)X,Y=∇X(∇Ys)−∇(DXY)s
Aquí, primero estoy desconcertado porque Besse dice que está denominando ∇(∇s) por ∇2s y luego define (∇2)X,Ys como ∇X(∇Ys) menos algún otro término. ¿He pasado por alto algo aquí, o encontré un error menor en su escritura? En cualquier caso, él continúa
Ahora, usando una obvia inducción, podemos definir la derivada covariante iterada ∇ps como la sección de T(p,0)M⊗E tal que (∇ps)X1,…,Xp=(∇X1(∇p−1s))X2,…,Xp
Para ser claro, ¿cómo funciona esta definición para p=3, digamos (∇3s)X,Y,Z? ¿Es (∇3s)X,Y,Z=∇X(∇Y(∇Zs)−∇(DYZ)s)=∇X(∇Y(∇Zs))−∇(DXY)(∇Zs)−∇Y(∇(DXZ)s)−∇X(∇DYZs)+∇DXDYZs o ¿no debería estar el término enmarcado en rojo allí?
Por cierto, ¿no debería el RHS de la ecuación (⋆) contener el subíndice X2,…,Xp antes del cierre del último paréntesis, como en (∇X1(∇p−1s)X2,…,Xp), o, aún mejor, (∇X1((∇p−1s)X2,…,Xp))?
