Estoy confundido por la definición de la derivada covariante iterada de Arthur Besse en la p. 25 de su libro "Einstein Manifolds". Él escribe:
1.17 Sea $\nabla$ una conexión lineal en un haz vectorial $E$ sobre $M$. Para cualquier sección $s$ en $\mathcal E$, $\nabla s$ es una sección de $T^*M\otimes E$. Ahora sea $D$ una conexión lineal en $M$. Entonces $D$ y $\nabla$ inducen una conexión lineal (que aún denotamos por $\nabla$) en $T^*M\otimes E$, por lo que podemos definir $\nabla(\nabla s)$ y denotarlo por $\nabla^2 s$. Es la sección de $T^{(2,0)}M\otimes E$ definida por $$(\nabla^2 s)_{X,Y} = \nabla_X(\nabla_Ys)-\nabla_{(D_XY)}s$$
Aquí, primero estoy desconcertado porque Besse dice que está denominando $\nabla(\nabla s)$ por $\nabla^2 s$ y luego define $(\nabla^2)_{X,Y} s$ como $\nabla_X(\nabla_Y s)$ menos algún otro término. ¿He pasado por alto algo aquí, o encontré un error menor en su escritura? En cualquier caso, él continúa
Ahora, usando una obvia inducción, podemos definir la derivada covariante iterada $\nabla^p s$ como la sección de $T^{(p,0)} M \otimes E$ tal que $$(\nabla^ps)_{X_1,…,X_p} = (\nabla_{X_1}(\nabla^{p-1}s))_{X_2,…,X_p}\tag{\star}$$
Para ser claro, ¿cómo funciona esta definición para $p=3$, digamos $(\nabla^3s)_{X,Y,Z}$? ¿Es \begin{align}(\nabla^3s)_{X,Y,Z} &= \nabla_X(\color{red}{\nabla_Y(\nabla_Z s)} \color{blue}{- \nabla_{(D_YZ)}s}) \\ &= \color{red}{\nabla_X(\nabla_Y(\nabla_Z s)) - \nabla_{(D_XY)}(\nabla_Z s) \boxed{-\nabla_Y(\nabla_{(D_XZ)}s)}} \color{blue}{- \nabla_X(\nabla_{D_YZ}s) + \nabla_{D_XD_YZ}s}\end{align} o ¿no debería estar el término enmarcado en rojo allí?
Por cierto, ¿no debería el RHS de la ecuación $(\star)$ contener el subíndice $X_2,…,X_p$ antes del cierre del último paréntesis, como en $(\nabla_{X_1}(\nabla^{p-1}s)_{X_2,…,X_p})$, o, aún mejor, $(\nabla_{X_1}((\nabla^{p-1}s)_{X_2,…,X_p}))$?
