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¿Cuál es la definición de la derivada covariante iterada?

Estoy confundido por la definición de la derivada covariante iterada de Arthur Besse en la p. 25 de su libro "Einstein Manifolds". Él escribe:

1.17 Sea $\nabla$ una conexión lineal en un haz vectorial $E$ sobre $M$. Para cualquier sección $s$ en $\mathcal E$, $\nabla s$ es una sección de $T^*M\otimes E$. Ahora sea $D$ una conexión lineal en $M$. Entonces $D$ y $\nabla$ inducen una conexión lineal (que aún denotamos por $\nabla$) en $T^*M\otimes E$, por lo que podemos definir $\nabla(\nabla s)$ y denotarlo por $\nabla^2 s$. Es la sección de $T^{(2,0)}M\otimes E$ definida por $$(\nabla^2 s)_{X,Y} = \nabla_X(\nabla_Ys)-\nabla_{(D_XY)}s$$

Aquí, primero estoy desconcertado porque Besse dice que está denominando $\nabla(\nabla s)$ por $\nabla^2 s$ y luego define $(\nabla^2)_{X,Y} s$ como $\nabla_X(\nabla_Y s)$ menos algún otro término. ¿He pasado por alto algo aquí, o encontré un error menor en su escritura? En cualquier caso, él continúa

Ahora, usando una obvia inducción, podemos definir la derivada covariante iterada $\nabla^p s$ como la sección de $T^{(p,0)} M \otimes E$ tal que $$(\nabla^ps)_{X_1,…,X_p} = (\nabla_{X_1}(\nabla^{p-1}s))_{X_2,…,X_p}\tag{\star}$$

Para ser claro, ¿cómo funciona esta definición para $p=3$, digamos $(\nabla^3s)_{X,Y,Z}$? ¿Es \begin{align}(\nabla^3s)_{X,Y,Z} &= \nabla_X(\color{red}{\nabla_Y(\nabla_Z s)} \color{blue}{- \nabla_{(D_YZ)}s}) \\ &= \color{red}{\nabla_X(\nabla_Y(\nabla_Z s)) - \nabla_{(D_XY)}(\nabla_Z s) \boxed{-\nabla_Y(\nabla_{(D_XZ)}s)}} \color{blue}{- \nabla_X(\nabla_{D_YZ}s) + \nabla_{D_XD_YZ}s}\end{align} o ¿no debería estar el término enmarcado en rojo allí?

Por cierto, ¿no debería el RHS de la ecuación $(\star)$ contener el subíndice $X_2,…,X_p$ antes del cierre del último paréntesis, como en $(\nabla_{X_1}(\nabla^{p-1}s)_{X_2,…,X_p})$, o, aún mejor, $(\nabla_{X_1}((\nabla^{p-1}s)_{X_2,…,X_p}))$?

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DIdier_ Puntos 1202

Para $T$ un tensor vectorial $(0,2)$, tenemos $$ \nabla T(X,Y,Z) = \nabla_X(T(Y,Z)) - T(\nabla_XY,Z) - T(Y,\nabla_XZ). $$ Si $T = \nabla^2s$, notamos que $ \nabla^2s(Y,Z) = \nabla_Y(\nabla_Zs) - \nabla_{\nabla_YZ}s, $ por lo que \begin{align} \nabla^3s(X,Y,Z) &= \nabla_X(\nabla^2s(Y,Z)) - \nabla^2s(\nabla_XY,Z) - \nabla^2s(Y,\nabla_XZ)\\ &= \nabla_X\left(\nabla_Y(\nabla_Zs) - \nabla_{\nabla_YZ}s\right) \\ &\quad - \nabla_{\nabla_XY}(\nabla_Zs) + \nabla_{(\nabla_{\nabla_XY}Z)}s \\ &\quad - \nabla_Y(\nabla_{\nabla_XZ}s) + \nabla_{(\nabla_Y(\nabla_XZ))}s \\ &= \nabla_X(\nabla_Y(\nabla_Zs)) \\ &\quad -\nabla_X(\nabla_{\nabla_YZ}s) - \nabla_{\nabla_XY}(\nabla_Zs) - \nabla_Y(\nabla_{\nabla_XZ}s) \\ &\quad + \nabla_{(\nabla_{\nabla_XY}Z)}s + \nabla_{(\nabla_Y(\nabla_XZ))}s. \end{align}

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