Un colegio tiene 39 departamentos y un total de 261 miembros de la facultad en esos departamentos. Demuestra que hay tres departamentos en este colegio que tienen un total de al menos 21 miembros de la facultad.
Esta es una pregunta extra en la cuarta edición de 'Paseo por la combinatoria', no puedo pensar en cómo debería aplicar PHP aquí. Estoy estudiando combinatoria por mi cuenta a través de este libro, sería útil si pudiera obtener alguna pista sobre cómo proceder.
Dado que la pregunta involucra tres departamentos, agrupemos los 39 departamentos en unidades de 3 departamentos cada una. Por lo tanto, obtenemos 13 unidades con 3 departamentos cada una.
Ahora, aplicando el Principio del Cajón del Palomar, al menos una unidad existe que tiene 21 miembros de la facultad en ella. Por lo tanto, demostrado.
Nota que se nos pide que 21 miembros de la facultad estén en 3 departamentos en total y no en 3 departamentos con 21 miembros cada uno.
Considere la lista de todos los posibles tríos de departamentos y sus totales correspondientes de número de miembros de la facultad.
Si sumamos todos estos totales correspondientes a cada uno de los posibles tríos de departamentos, ¿cuántas veces contribuyó el número de miembros de la facultad del primer departamento a la suma? ¿El número de miembros de la facultad del segundo departamento contribuyó a la suma? ¿Cuál debería ser el total general de esta suma de todos los totales posibles de tríos?
Suponiendo que el total de cada trío fuera en realidad $20$ o menos, ¿esto causaría algún problema?
$\binom{38}{2}\cdot 261 > 20\cdot \binom{39}{3}$
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