Demostrar la desigualdad triangular que involucra números complejos.

Question

Nuestro objetivo final en este problema es demostrar la desigualdad triangular con números complejos.

(a) Demuestra que para todo $z \in \mathbb{C}$,

$|Re(z)| \leq |z|$ y $|Im(z)| \leq |z|$.

(b) Dados $z$, $w \in \mathbb{C}$, demuestra que

$|z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2Re(zw^{'})$.

(c) Usando las partes (a) y (b), demuestra la desigualdad triangular

$|z + w| \leq |z| + |w|$.

Esto es lo que obtuve.

(a) Por definición, para un número complejo $z = x + yi$,

$$|z|^2 = x^2 + y^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2$$

A partir de aquí,

$$|z|^2 \leq Re(z)^2 \text{ y } |z|^2 \leq Im(z)^2$$

Y, finalmente,

$$|z| \leq |Re(z)| \text{ y } |z| \leq |Im(z)|$$

(b) $|z + w|^2 = (z + w)\cdot(z + w)^{*}$

$$= (z + w)\cdot[z^{*} + w^{*}]$$

$$= zz^{*} + [zw^{*} + z^{*}w] + ww^{*}$$

$$= |z|^2 + 2Re[zw^{*}] + |w|^2$$

$$ |z|^2 + 2|zw^{*}| + |w|^2$$

$$= |z|^2 + 2|z||w| + |w|^2$$

$$= (|z| + |w|)^2.$$

(c) Dado que tanto $|z+w|$ como $|z| + |w|$ son no negativos,

$$|z + w| \leq |z| + |w|$$

Answer 1

¡Se ve sólido! Lamentablemente, solo lo estoy viendo bien después del mensaje original, ¡pero para reducir las preguntas sin respuesta, aquí vamos!

Answer 2

Sea $z, w$ números complejos, entonces tenemos que $||z|-|w|| \leq |z+w|$ y $||z|-|w|| \leq |z-w| $ además $|z-w| \leq |z|+|w| $ también $ |z+w| \leq |z|+|w|$.

Prueba:

Claramente $ |z|^{2}+|w|^{2} \leq |z|^{2}+2|w||y|+|w|^{2} $ Ya que tenemos que $2|z||w| \leq 0$ por definición del módulo. Así que tenemos que $|z|^{2}+|w|^{2} \leq (|z+w|)^{2}$ lo cual implica que $|z|+|w| \leq |z+w|$.

Ahora $|z|^{2}-|w|^{2} \leq |z|^{2}-2|w||y|+|w|^{2}$. Ya que $2|z||w| \leq 0$ Nuevamente esto nos lleva a concluir que $|z|^{2}-|w|^{2} \leq (|z-w|)^{2} \leq (|z+w|)^{2}$ ya que $|z|^{2}-2|w||y|-|w|^{2} \leq |z|^{2}+2|w||y|+|w|^{2}$ entonces tenemos que $|z-w| \leq |z|+|w|$.

También $|z|=|z-w+w| \leq |z-w|+|w|$ (como se mostró arriba) $⇒|z|-|w|\leq|z-w|$, Similarmente $|w|=|w-z+z|\leq|w-z|+|z| ⇒|w|-|z|\leq|w-z|$ multiplicando ambos lados por -1 da $-|z-w|\leq|z|-|w|$ entonces $-|z-w|\leq|z|-|w|\leq|z-w| ⇒||z|-|w||\leq|z-w|$.

$||z|-|-w||\leq|z-(-w)|⇒||z|-|w||\leq|z+w|$ ya que $|-w|=|w|$. Y por lo tanto $ ||z|-|w|| \leq |z-w|\leq|z|+|w|$ , $|z+w|\leq|z|+|w|$ ha sido demostrado.