Demostrar que no hay funciones continuas $f:[0,1]\a R$, tal que $$ f(x)+f(x^2)=x. $$
Mi intento. Suponga que existe una función continua con esta propiedad. Así, para cualquier $n\ge 1$ y todo $x\in [0,1]$, \begin{align*} f(x) y=x-f(x^2)=x-\big(x^2-f(x^4)\big)=x-x^2+\big(x^4-f(x^8)\big)=\cdots\\ y=x-x^2+x^4-\cdots+(-1)^n\left(x^{2^n}-f\big(x^{2^{n+1}}\big)\right) \end{align*}
dado que $f(0)=0$ y $\displaystyle\lim_{n\to \infty}x^{2^{n+1}}=0$ para $x\in(0,1)$,se sigue por la continuidad de $f$ que $\displaystyle\lim_{n\to \infty}f\big(x^{2^{n+1}}\big)=0$, por lo tanto $$f(x)=x-x^2+x^4-x^8+\cdots+(-1)^nx^{2^n}+\cdots$$ para cualquier $x\in (0,1)$
¿Por qué tengo que probar que existe existe un continuo de funciones $f$? Tal vez mi ejemplo está mal? Por qué?
si mi método es malo,entonces, ¿Cómo demostrar que este problema ? Gracias.
