Para un martingala $(Z_n)_{n\in \mathbb N}$ define $X_i=Z_i-Z_{i-1}$ con $Z_0=0
Mostrar:
$$Var(Z_n)=\sum_{i=1}^nVar(X_i)$$
Mi intento:
Podemos escribir $Z_n=\sum_{i=1}^nX_i$, por lo que en realidad solo tenemos que mostrar que $Cov(X_i,X_j)=0$ para todo $i\neq j
Sea $i>j$ tenemos:
$Cov(X_i,X_j)=Cov(Z_{i}-Z_{i-1},Z_j-Z_{j-1})=\mathbb E((Z_i-Z_{i-1})(Z_j-Z_{j-1}))-\mathbb E(Z_i-Z_{i-1})\mathbb E(Z_j-Z_{j-1})$
El segundo sumando es cero porque $\mathbb E(Z_i-Z_{i-1})\mathbb E(Z_j-Z_{j-1})=(\mathbb E(Z_i)-\mathbb E(Z_{i-1}))(\mathbb E(Z_j-Z_{j-1})=0$
(Porque $n\mapsto \mathbb E(Z_n)$ es constante para un martingala $Z_n)
Para el primer sumando:
Sabemos que $Z_n$ es $\mathfrak{F}_n-adaptado$, donde $\mathfrak{F}_n$ es monótonamente anidado.
Condicionamos en $\mathfrak{F}_j$:
$\mathbb E((Z_i-Z_{i-1})(Z_j-Z_{j-1}))=\mathbb E(\mathbb E((Z_i-Z_{i-1})(Z_j-Z_{j-1}))$|$\mathfrak{F}_j)$
Por la propiedad de la esperanza condicional que se llama "sacar lo que se conoce", obtenemos:
$\mathbb E((Z_j-Z_{j-1})\mathbb E(Z_i-Z_{i-1})$|$\mathfrak{F}_j)=\mathbb E((Z_j-Z_{j-1})(\mathbb E(Z_i)-\mathbb E(Z_{i-1}))$|$\mathfrak{F}_j)$
(Sabemos $Z_j$ y $Z_{j-1})$
Lo cual es cero, nuevamente porque $n\mapsto \mathbb E(Z_n)$ es constante para un martingala $Z_n
Se sigue la afirmación.
Espero que alguien pueda revisarlo y verificar si todo es correcto... especialmente cuando condiciono algo.
Pregunta general: ¿Hay una regla sobre en qué deberías condicionar cuando quieres probar cosas así?
¡Gracias de antemano!
