Vakil 5.1 E
Muestra que en un esquema cuasi-compacto cada punto tiene un punto cerrado en su cerradura
Solución: Sea $X$ un esquema cuasi-compacto de manera que tiene una cobertura finita por abiertos afines $U_i$.
Sea $z \in X$, y $\bar z$ su cerradura. Considera la subcolección (finita) de $\{U_i\}_{i=1}^N$ que intersecta a $\bar z$. Porque $U_1$ es simplemente el espectro de un anillo, podemos elegir un punto cerrado $z_1 \in \bar z \cap U_1$. Si $z_1$ también es cerrado en todos los demás $U_i$ que lo contienen, entonces hemos terminado, pero si no es cerrado en algún $U_i$ entonces no es cerrado en $X$. Sin embargo, en ese caso, podemos elegir otro $z_i \in \bar {z_1} \cap U_i$. Ciertamente, $z_i$ no está en $U_1$, porque si lo estuviera, entonces $z_1$ no habría sido un punto cerrado en $U_1$ en primer lugar.
Ahora procedemos de manera obvia hasta llegar a un punto $z_n$ que es cerrado en todos los abiertos afines que lo contienen. Observa que este procedimiento termina porque una vez que pasamos de $z_i$ a $z_{i+1}$ ya no podemos tener a $z_{i+1}$ contenido en algún abierto afín donde alguno de $z_{j\le i}$ fuera cerrado, porque si lo hiciéramos entonces $z_{i+1} \in \bar{z_j} \cap U_j = \{z_j\}$.
