¿Por qué esta ecuación binomial no es una identidad entre polinomios?

Question

En el libro Matemáticas Concretas, aparece la siguiente identidad: $$(r-k){r\choose k} = r {r-1\choose k}$$ Esto es seguido por una demostración de que se cumple para todos los valores reales de r. Esta demostración hace uso de la propiedad de que

ambos lados de [la identidad] son polinomios en r de grado k+1.

Hasta aquí todo bien. Sin embargo, el pasaje continúa afirmando que la siguiente identidad no puede ser extendida a valores reales para r de esta manera, porque no es una identidad entre polinomios. $${n \choose k} = {n \choose n-k}$$

¿Cómo pueden los factores (r-k) y r hacer que la primera identidad sea un polinomio cuando la segunda no lo es? ¿Estoy perdiendo alguna otra diferencia que sea crítica?

Answer 1

Recordamos la definición (5.1) de coeficientes binomiales establecida en el capítulo 5 Coeficientes binomiales con $\alpha\in\mathbb{C}$ y valores enteros $p

\begin{align*} \binom{\alpha}{p}= \begin{cases} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-p+1)}{p!}&p\geq 0\\ 0&p<0 \end{cases}\tag{1} \end{align*}

La identidad $(r-k)\binom{r}{k}=r\binom{r-1}{k}$ tiene una representación de acuerdo a (1) como \begin{align*} \frac{1}{k!}(r-k)r(r-1)\cdots(r-k+1)=\frac{1}{k!}r(r-1)(r-2)\cdots(r-k) \end{align*> Ambos lados coinciden y son polinomios en $r$ de grado $k+1$. Por otro lado, la identidad $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ tiene una representación de acuerdo a (1) como \begin{align*> \frac{1}{k!}n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n(n-1)\cdots(n-(n-k)+1)}{(\color{blue}{n}-k)(\color{blue}{n}-k-1)\cdots (\color{blue}{n}-k-(n-k)+1)}\tag{2} \end{align*>

En (2) vemos que el lado derecho es una función racional con numerador y denominador siendo polinomios en $n$ de grado $n-k$.

Dado que el argumento establecido en el libro es válido solo para polinomios y no para funciones racionales en general, no se puede aplicar a (2).