Una simple desigualdad, ¿siempre se cumple?

Question

Estoy mirando la siguiente desigualdad:

$$\Gamma(-\frac{x+1}{x})\lt x , \forall x\gt \frac{7}{2}$$

Parece que el LHS y el RHS eventualmente divergen lo suficiente para $x$ lo bastante grande, pero he fallado en una demostración de esa desigualdad. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

No estoy seguro de que esto pueda ser una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Considerando para valores grandes de $x$ $$\Gamma(-\frac{x+1}{x})=\Gamma(-1-y)$$ y desarrollando como una serie de Taylor en $y=0$, tenemos $$\Gamma(-1-y)=\frac{1}{y}+(\gamma -1)+\frac{1}{12} \left(12-12 \gamma +6 \gamma ^2+\pi ^2\right)y+O\left(y^2\right)$$ lo que hace que $$\frac 1y-\Gamma(-1-y)=(1-\gamma )+\frac{1}{12} \left(-12+12 \gamma -6 \gamma ^2-\pi ^2\right)y+O\left(y^2\right)$$ donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni ($\approx 0.577216$). El siguiente coeficiente es $\approx -1.41184.

En cuanto a la solución de la ecuación $$\Gamma(-\frac{x+1}{x})- x=0$$ no encontré ninguna solución analítica, pero los métodos numéricos dan $$x\approx 3.29728$$

Answer 2

Mostraremos esto utilizando la observación útil hecha por Claude Leibovici.

Primero, demostraremos que $0 < z < 2/7$, $$ f(z) \equiv \log\Gamma(1 - z) - z + \frac{ z^2 } { 2} < 0. \qquad (1) $$ Según el teorema de Bohr-Mollerup, $\log\Gamma(1-z)$ es convexa, al igual que $-z + z^2/2$. Por lo tanto, $f(z)$ es convexa, y para $z < a = 2/7$, tenemos $$ f(z) < \frac{z}{a} f(a) + \left(1 - \frac{z}{a}\right) f(0) = \frac{z}{a} f(a) < 0, $$ donde hemos utilizado el hecho de que $f(a) \approx -0.0012 < 0$.

Segundo, para $0 < z < 1$ $$ \begin{aligned} \log(1 + z) &= z - \frac{z^2}2 + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots \\ &> z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3(1-z)}{4} + \frac{z^5(1-z)}{6} \dots \\ &> z - \frac{z^2}{2}. \qquad (2) \end{aligned} $$ Entonces, a partir de (1) y (2) tenemos para $0 < z < 2/7$, $$ \log \frac{\Gamma(1-z)}{1+z} < f(z) < 0, $$ o $$ \frac{\Gamma(1-z)}{1+z} < 1. $$

Finalmente, para $x > 7/2$, $$ \begin{aligned} \Gamma\left(-\frac{x+1}{x}\right) &= \frac{ \Gamma\left( -\frac 1 x \right) } {\left(-1 - \frac 1 x \right)} = \frac{ \Gamma\left( 1 -\frac 1 x \right) } {\left(-1 - \frac 1 x \right)\left(-\frac 1 x\right) } = x \, \frac{ \Gamma\left( 1 -\frac 1 x \right) } {1 + \frac{1}{x} } < x. \end{aligned} $$