Sea $x_{1}=\sqrt{2}$ y $x_{n+1}=\sqrt{\frac{2x_{n}}{x_{n}+1}}$. Encuentra el valor de:
\begin{align} \prod_{n=1}^{\infty }x_{n} \end{align>
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un enfoque a este problema es comenzar mostrando $$\frac{1}{x_n} = \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)$$ Luego, tendrás $$\prod_{n=1}^\infty x_n = \frac{1}{\prod\limits_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}$$ Esto se puede evaluar usando la fórmula de Viète que nos dice que $$\prod\limits_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{\pi/2}{2^{n}}\right) = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac{2}{\pi}$$ (y luego el producto infinito original es igual a $\frac{\pi}{2}$)
Un enfoque diferente aborda el producto directamente mostrando que $$\prod_{k=1}^n x_k = 2^n\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)$$ El producto infinito deseado es entonces igual al límite de esta expresión a medida que $n$ tiende a infinito; lo cual puede ser fácilmente mostrado como igual a $\frac{\pi}{2}$.
