Dividiendo un plano con líneas

Question

Hace un tiempo, uno de mis amigos me desafió a descubrir cuántas regiones puedo dividir un plano dado $n$ líneas. Por ejemplo:

También me dijo que la fórmula para encontrar el número máximo de líneas en el plano es $$\frac{1}{2}\left(n^2+n+2\right).$$

¿Cómo se deriva esto? (Preferiría un ejemplo intuitivo ya que no he estudiado campos especialmente avanzados de geometría, teoría de conjuntos o lo que sea necesario para demostrar rigurosamente la fórmula).

Answer 1

Cada nueva línea que agregues puede cortar cada una de las otras líneas a lo sumo una vez. Si lo arreglas de esta manera, entonces la línea corta la región a la que pertenece antes de cortar la primera línea en dos, y luego cada vez que cruza una línea, corta otra región en dos. Por lo tanto, el número de nuevas regiones es el número de líneas que tenías antes más 1. Es decir, la n-ésima línea agrega n nuevas regiones. Teniendo en cuenta que empiezas con 1 región cuando n = 0, obtienes $$ R = 1 + \sum^n_{i=1}i = 1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}. $$