$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ son vectores unitarios de modo que $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$. ¿Cuál es $\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a$?

Question

Sean $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ vectores unitarios tales que $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$. ¿Cómo puedo encontrar $\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a$?

Answer 1

Comenzando con $$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b} +\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{c})$$ $$\implies 0=1+1+1+2(\vec{a}\cdot \vec{b} +\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{c})$$ $$\implies \vec{a}\cdot \vec{b} +\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{c}=\frac{-3}{2}$$

Answer 2

Tenemos 3 vectores unitarios, la suma de estos vectores es 0. Esto significa que estos 3 vectores forman un triángulo equilátero. Tenemos un triángulo equilátero ABC y necesitamos calcular $\vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{BC}\cdot\vec{CA} + \vec{CA}\cdot\vec{CA}$.

$\vec{AB}\cdot\vec{BC} = -1/2$ porque son vectores unitarios, y el ángulo entre estos vectores es de 120 grados (el triángulo es equilátero). La situación es la misma con los otros dos productos, y la respuesta final es -3/2.

No hay necesidad de trucos mágicos en este problema.