$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ son vectores unitarios de modo que $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$. ¿Cuál es $\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a$?

Question

Sean $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ vectores unitarios tales que $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$. ¿Cómo puedo encontrar $\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a$?

Answer 1

Pista: Los tres vectores forman un triángulo equilátero de longitud lateral unitaria, por lo que conocemos todas las longitudes y ángulos. Ahora utiliza el hecho de que $\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v| \cos \theta$.

Answer 2

Pista

$$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0\implies (\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\vec a+\vec b+\vec c)=0.$$ Es decir,

$$3+2(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a)=0$$

Answer 3

$$|\vec a|^2+\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c=0$$ $$\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2+\vec b\cdot\vec c=0$$ $$ a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c+|\vec c|^2=0$$

$$|\vec a|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}=0$$ $$\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2+\vec{b}\cdot\vec{c}=0$$ $$ a\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2=0$$

Answer 4

$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0 \Rightarrow |\vec a+\vec b+\vec c|^2=0$,$$|a|^2+|b|^2+|c|^2+2(\vec a.\vec b +\vec b.\vec c+\vec a.\vec c)=0$$Y dado que, $|a|^2+|b|^2+|c|^2=3$, entonces $$\vec a.\vec b+\vec b.\vec c+\vec a.\vec c= -\frac{3}{2}$$

Answer 5

Pista: si $\vec a+\vec b+\vec c=0$, entonces: $$\begin{align} \| \vec a+\vec b+\vec c \|^2 = \left(\vec a+\vec b+\vec c \right) \cdot \left(\vec a+\vec b+\vec c \right) &=0 \\\ \| \vec a \|^2 + \| \vec b \|^2 + \| \vec c \|^2 + 2\left( \color{blue}{\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a} \right) &=0 \end{align}$$ Dado que los vectores son vectores unitarios, las normas son... Estás buscando la expresión azul.