¿Es diferente "cuantizar" un campo de "cuantizar" una partícula?

Question

Como lo entiendo, la mecánica cuántica para partículas se desarrolló para reemplazar la mecánica clásica para partículas. En esencia, nos dimos cuenta de que las partículas no pueden tener un lugar y un momento exactos, sino que deben describirse utilizando probabilidades y más específicamente funciones de onda.

¿Es la cuantificación de un campo la misma idea? Es decir, supongamos que estoy considerando un campo eléctrico $\mathbf E(\mathbf x,t)$. ¿Significa cuantificar un campo que ya no creemos que el campo pueda tener un valor definido en puntos en el espacio-tiempo? ¿Significa esto que estamos buscando encontrar un análogo de la función de onda para los campos?

Answer 1

Ambos cuantizando una "partícula" y cuantizando un "campo" siguen las mismas ideas generales:

Desde el punto de vista hamiltoniano, comenzamos con un espacio de fase clásico (de dimensión finita para una "partícula", de dimensión infinita para un "campo"), y la cuantización significa básicamente implementar la álgebra de Poisson clásica en el espacio de fase como la álgebra de operadores de un espacio de Hilbert de tal forma que el conmutador de los operadores cuánticos coincida con el corchete de Poisson clásico. Es decir, a cada función del espacio de fase clásico $f$ le asociamos un operador $\hat{f}$, y nos gustaría que $[\hat{f},\hat{g}] = \mathrm{i}\hbar\{f,g\}$ y $p(\hat{f}) = \widehat{p(f)}$ para cualquier polinomio $p.1

Para el caso de dimensión finita, el teorema de Stone-von Neumann garantiza que el corchete de Poisson canónico $\{x,p\} = 1$ conduce a la representación única de $\hat{x}$ como multiplicación y $\hat{p}$ como diferenciación en la base de posición, pero esto falla para el caso de dimensión infinita, lo que hace que la cuantización canónica de campos sea más difícil, y su análogo de funciones de onda - llamadas funciones de onda - menos útiles que en el caso de partículas.

Sin embargo, cuantizar partículas y cuantizar un campo no es tan diferente - cada coordenada de espacio de fase $x,p$ se promueve a un operador cuántico $\hat{x},\hat{p}$, al igual que cada campo $\phi(x)$ y su densidad de momento canónicamente conjugada $\pi(x)$ se promueven a funciones valuadas por operadores $\hat{\phi}(x),\hat{\pi}(x)$ (o, más adecuadamente, distribuciones valuadas por operadores) cuya relación de conmutación es su corchete de Poisson clásico.

Es "solo" que el espacio de fase de dimensión infinita da muchos más problemas que el caso de dimensión finita, por lo que cuantizar campos es "más difícil".

Otra forma de ver que cuantizar campos y partículas no es realmente diferente es observar que si uno piensa en la posición de una partícula como $x(t)$, esto es un campo en un espacio tiempo de 0+1 dimensiones, y luego la mecánica cuántica usual se convierte simplemente en el caso especial de una QFT de 0+1 dimensiones, lo cual se ve mejor en el enfoque de la integral de camino.

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1En general, esto no es posible debido al teorema de Groenewold-van Hove. Esto lleva a usar el corchete de Moyal en lugar del corchete de Poisson en el enfoque de cuantización de deformación.

Answer 2

La cuantización se desarrolló para explicar el comportamiento de fenómenos ondulatorios que aparentemente solo podían intercambiar energía en forma de cuantos discretos. Esto comenzó con la idea de Planck en 1900 de que el espectro térmico de los cuerpos negros solo podía ser explicado si el espectro de energía estaba discretizado. Einstein explicó el efecto fotoeléctrico en términos de partículas en 1905. Ambos efectos comienzan con radiación electromagnética, que clásicamente es un fenómeno ondulatorio.

Bohr agregó un modelo semiclásico del átomo en 1913 y en 1923 De Broglie propuso el concepto de ondas de materia. En 1926, Schroedinger agregó su ecuación de onda y ya en 1927, la gente comenzó a trabajar en la cuantización explícita de campos clásicos, lo que dio frutos para el nuevo campo de la física de alta energía en las décadas de 1930 y 1940.

Por lo tanto, aunque la enseñanza moderna generalmente comienza con la discusión de una función de onda de partícula única para enseñar a los estudiantes la estructura general de la mecánica cuántica, no se puede decir que los físicos de principios del siglo XX la crearon porque tenían una fuerte necesidad de cuantificar partículas individuales. La necesidad era cuantificar campos desde el principio, pero resultó ser demasiado difícil, por lo que el programa se mantuvo en una comprensión muy limitada de sistemas simples y no relativistas de una sola partícula durante un par de décadas antes de que la generalización a sistemas multi-partículas relativistas fuera finalmente exitosa.

Después de la década de 1940, el campo se divide. Un número pequeño pero no trivial de físicos se centraron en cuestiones estructurales que son más fáciles de explorar en experimentos cuántico-ópticos que utilizan luz y sistemas atómicos excitados. Ha habido un progreso casi nulo en el lado de la física en ese programa en los últimos 80 años, aproximadamente. Todo lo que se puede lograr con la fenomenología de estos sistemas parece relacionarse con la importante pregunta teórica de qué sucede microscópicamente durante el proceso de medición. Los logros más importantes allí son el desarrollo de la teoría de la matriz de densidad y la explicación de medidas cuánticas fuertes a través de la decoherencia. Esto hace que la teoría cuántica sea una teoría completamente autoconsistente y puede conducir a avances significativos en la informática gracias a la posibilidad de algoritmos cuánticos.

El progreso mucho mayor en términos de física realmente "nueva" se ha logrado en la teoría cuántica de campos relativista, tanto en términos de experimentos como en el desarrollo de métodos teóricos cuánticos de campos. Dada la enorme complejidad de este campo, probablemente todavía esté en sus etapas iniciales y aún quedan muchos más conocimientos por venir, especialmente en lo que respecta a la gravedad y la cosmología cuántica.

Dicho todo esto, es dolorosamente obvio que acabo de escribir mi propia historia de la mecánica cuántica, ¿verdad? A la luz de esto, esto no pertenece a la sección de física... si aplicamos las reglas correctamente. Mis disculpas a la comunidad. Eliminaré esto si se me pide hacerlo o los moderadores pueden decidirlo por sí mismos y no me ofenderé en absoluto. Admito plenamente que no debemos responder preguntas de esta manera.

Answer 3

Cuando buscamos la forma de construir una teoría relativista, la forma más conveniente de introducir un enfoque cuántico es el enfoque de simetría. En términos de este método, comenzamos con el requisito de la simetría subyacente de Poincaré. En términos de esto, la partícula se define matemáticamente como una representación irreducible del grupo de Poincaré. Es decir, el estado de una partícula es un estado con una masa definida y un cuadrado de espín (o helicidad para el caso sin masa). La base de estados de partículas no interactuantes se representa mediante una base de Fock, con operadores de creación-destrucción. Cumplen una ley de transformación definida bajo el grupo de Poincaré. Y cuando queremos construir escalares a partir de los operadores del espacio de Fock, debemos contraer estos operadores con algunas funciones de coeficiente en el espacio de momento. Los objetos correspondientes se llaman campos relativistas. Las funciones de coeficiente deben cumplir una ley de transformación definida. Este hecho resulta en la afirmación de que podemos extraer de un campo relativista las "partes" que definen un estado de una sola partícula dado; hacemos esto imponiendo la restricción en el campo relativista de que los operadores de Casimir (en forma diferencial) que actúan sobre él den la masa y el cuadrado del espín de la partícula (o helicidad). Estas restricciones se llaman ecuaciones de onda relativistas. Se pueden derivar a partir de primeros principios. Ejemplos son las ecuaciones de Maxwell, la ecuación de Dirac, las ecuaciones de Pauli-Fierz, etc.

En este sentido, la "cuantización del campo" (imponiendo ecuaciones de onda relativistas) no es más que la "cuantización de la partícula" (el requerimiento de que la partícula elemental sea una representación irreducible del grupo de Poincaré).