Sé que un espacio topológico no necesita ser un espacio métrico y que todo espacio métrico puede considerarse un espacio topológico (que es el inducido por una métrica definida en él).
Sin embargo, me surgió esta pregunta: ¿es correcto decir que un espacio métrico es 'metrizable'? Por ejemplo, la topología uniforme (aquella inducida por la métrica uniforme). ¿Tiene sentido decir que la topología uniforme es 'metrizable' ya que es un espacio métrico?
Espero que alguien pueda aclararme esto.
Si $\langle X,d\rangle$ es un espacio métrico, es decir, si $X$ es un conjunto y $d$ es una métrica en $X$, entonces $d$ induce una topología $\tau_d$ en $X$.
Por lo tanto, a partir del espacio métrico $\langle X,d\rangle$ se induce el espacio topológico $\langle X,\tau_d\rangle$.
Si comenzamos con un espacio topológico $\langle X,\tau\rangle$, entonces surge la pregunta natural: "¿existe una métrica en $X$ tal que $\tau=\tau_d$?"
Si la respuesta es "sí", entonces el espacio topológico $\langle X,\tau\rangle$ es, por definición, metrizable.
Además, la respuesta siempre será "sí" para espacios topológicos que son inducidos por medio de una métrica.
En resumen y con un abuso del lenguaje: "un espacio métrico es metrizable".
Un espacio métrico no es un espacio topológico y un espacio metrizable sí es un espacio topológico, por lo que la etiqueta no es correcta formalmente.
Un espacio topológico $(X, \mathcal{T})$ se llama metrizable si existe una métrica
$$d: X \times X \to \mathbb{R}^+$$
tal que
$$\mathcal{T}= \{A \subseteq X \mid \forall a \in A: \exists \epsilon > 0: B_d(a, \epsilon) \subseteq A\}$$
Es decir, la topología en $X$ es inducida por una métrica.
Por lo tanto, si consideramos un espacio métrico como un espacio topológico (por la topología inducida por la métrica), es trivialmente un espacio topológico metrizable.
Hay que tener en cuenta que no todos los espacios topológicos son espacios metrizables. De hecho, el espacio
$$(\{0,1\}, \mathcal{S}= \{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\})$$ se ve fácilmente que es un espacio topológico pero la topología no contiene $\{1\}$, por lo que su complemento $\{0\}$ no es cerrado. En un espacio metrizable, cada subconjunto unitario es cerrado, por lo que el espacio topológico anterior no puede ser un espacio metrizable.
Como otros señalaron, un espacio métrico tiene una topología inducida que es (por definición) metrizable. Pero un espacio métrico viene con una métrica y podemos hablar de sucesiones de Cauchy y de acotamiento total (que están definidos en términos de la métrica) y en un espacio topológico metrizable puede haber muchas métricas compatibles que inducen la misma topología y por lo tanto no hay noción de una sucesión de Cauchy, etc. Así que lo que está pre-dado (una métrica o una topología) determina qué tipo tenemos y qué nociones están definidas para él. Pertenecen a diferentes categorías de objetos.
Solo para dar un ejemplo claro de un espacio no metrizable. Cualquier conjunto con la topología indiscreta, donde los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y el espacio mismo. ¿Cómo sabemos que no es metrizable? Porque no es Hausdorff, y todos los espacios métricos lo son. Considera dos puntos diferentes p,q en un espacio métrico. Luego, por los axiomas de los espacios métricos, d(p,q):=r>0. Luego, las bolas centradas en p,q respectivamente, ambas con radio r/3, son vecindades que separan p de q, mostrando que son Hausdorff.
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