Expresión para un límite inferior de $||(A-z)^{-1}||^{-1}$ que depende solo del espectro de $A$ y/o sus valores singulares.

Question

Si tenemos una matriz compleja cuadrada $A$ y la norma espectral $||\cdot||$, sabemos que $||A||= \max \left(\sigma(A)\right)$ es el mayor valor singular. Denotemos $\Lambda(A)$ al espectro de $A$.

Para matrices hermitianas (en realidad para matrices normales) $||A|| = \rho(A)$, donde $\rho(A)$ es el radio espectral de $A$. Así, para $A$ normal, si $z\in \mathbb{C}$, entonces $||(A-z)|| = \max_{\lambda \in \Lambda(A)}||\lambda-z||$. De hecho, si consideramos inversas, la norma tiene un hermoso significado geométrico, es decir, si $z\in \mathbb{C}-\Lambda(A)$, entonces $||(A-z)^{-1}||^{-1} = \min_{\lambda \in \Lambda(A)} ||\lambda-z|| = \mbox{distancia}(\Lambda(A),z)$. Además, por ejemplo, si sabemos que $||(A-z)^{-1}|| > 1/r$, entonces podemos concluir que $\mbox{distancia}(\Lambda(A),z) < r$ (Esto es útil para una versión generalizada del teorema del círculo de Gershgorin considerando matrices de bloques).

Dado que en el caso general (incluyendo matrices no normales) $||A||$ podría ser mucho mayor que $\rho(A)$, entonces no necesariamente $||(A-z)^{-1}||^{-1} = \mbox{distancia}(\Lambda(A),z)$. Entonces, me he estado preguntando si es posible expresar $||A-z||$ solo en términos de los valores propios de $A$ y/o los valores singulares de $A$ (como en el caso hermitiano o normal), es decir, ¿existe una expresión simple como una función $f$ tal que para todos $A$, $||A-z|| = f(z,\sigma_1(A),...,\sigma_r(A),\lambda_1(A),...,\lambda_t(A))$?, o es posible encontrar una función $g(z,\sigma_1(A),...,\sigma_r(A),\lambda_1(A),...,\lambda_t(A))$ que dependa solo del espectro y/o los valores singulares de $A$, tal que para todos $A$, $g(z,\sigma_1(A),...,\sigma_r(A),\lambda_1(A),...,\lambda_t(A)) < ||(A-z)^{-1}||^{-1}$?.

Answer 1

Estás pidiendo un límite inferior de $\|(A-z)^{-1}\|^{-1}=\sigma_\min(A-z)$ en términos de $z$ y los valores singulares de $A$. Dado que $$ \|(A-z)u\|\ge \begin{cases} \|Au\|-\|zu\|\ge\sigma_\min(A)-|z|\\ \|zu\|-\|Au\|\ge|z|-\sigma_\max(A) \end{cases} $$ para cada vector unitario $u$, tenemos $$ \sigma_\min(A-z)\ge \begin{cases} \sigma_\min(A)-|z|&\text{cuando}\quad\sigma_\min(A)\ge|z|,\\ |z|-\sigma_\max(A)&\text{cuando}\quad|z|\ge\sigma_\max(A).\\ \end{cases} $$ Cuando $\sigma_\min(A)<|z|<\sigma_\max(A)$, el mejor límite inferior de $\sigma_\min(A-z)$ en términos de $z$ y los valores singulares de $A$ es cero. De hecho, dado cualquier $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge\sigma_n\ge0$ y cualquier número complejo $z$ tal que $\sigma_n<|z|<\sigma_1$, siempre existe una matriz $n\times n$ $A$ con valores singulares $\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n$ tal que $A-z$ es singular. Más específicamente, sea $z=r\omega$ donde $r\ge0$ y $|\omega|=1$. Entonces $\sigma_n y $(r-\sigma_1)(r-\sigma_n)<0$. Por lo tanto $c:=\dfrac{r^2+\sigma_1\sigma_n}{(\sigma_1+\sigma_n)r}\in(0,1)$ y $c=\cos\theta$ para algún número real $\theta$. Ahora sea $s=\sin\theta$ y $$ A=\omega\pmatrix{\sigma_1c&-\sigma_ns\\ \sigma_1s&\sigma_nc\\ &&\sigma_3\\ &&&\ddots\\ &&&&\sigma_{n-1}}. $$ Claramente, los valores singulares de $A$ son $\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n$. Ahora $A-z$ es singular porque $$ \det\pmatrix{\sigma_1c-r&-\sigma_ns\\ \sigma_1s&\sigma_nc-r} =\sigma_1\sigma_n-(\sigma_1+\sigma_n)rc+r^2=0. $$ Observación. Si se permiten límites inferiores en términos de otras cantidades, hay varios límites fácilmente computables de tipo Gershgorin. Por ejemplo (ver C. R. Johnson, Un límite inferior de tipo Gershgorin para el menor valor singular, Álgebra Lineal y sus Aplicaciones, 112:1-7 (1989)) $$ \sigma_\min(B)\ge\min_k\left\{|b_{kk}|-\frac12\left(r_k'(B)+c_k'(B)\right)\right\} $$ o (ver Horn y Johnson, Temas en Análisis de Matrices, p.231) $$ \sigma_\min(B)\ge\frac12\min_k\left\{\left[4|b_{kk}|^2+\left(r_k'(B)-c_k'(B)\right)^2\right]^{1/2}-\left(r_k'(B)+c_k'(B)\right)\right\}, $$ donde $$ r_k'(B)=\sum_{j\ne k}|b_{kj}| \quad\text{y}\quad c_k'(B)=\sum_{i\ne k}|b_{ik}|. $$