Ajustar una parábola a través de dos puntos, minimizando el error en la derivada en esos dos puntos.

Question

Sea $f(x)$ una parábola y $f'(x)$ su derivada. Dados los puntos conocidos $(p, q)$ y $(r, s)$: $q = f(p)$ y $s = f(r)$.

También se conocen los valores de las derivadas deseadas en $p$ y $r$. Digamos $t$ y $u$.

En el caso ideal, queremos encontrar una función $f$ tal que $f'(p) = t$ y $f'(r) = u$. Sin embargo, eso podría no ser posible si no existe tal polinomio cuadrático para $f$.

¿Cómo encontrar una parábola $f(x)$ tal que $f(p) = q$, $f(r) = s$ y $f'(p)$ y $f'(r)$ son tales que el error en ambos es igual?

Una forma de definir este error es observando el ángulo que hacen las tangentes; es decir, una línea vertical se desvía la misma cantidad de $y=x$ que una línea horizontal, a pesar de que las derivadas sean el infinito, 1 y 0 respectivamente. Pero también estoy feliz con otras definiciones si eso hace que las ecuaciones sean más fáciles. Por ejemplo, simplemente mirando la diferencia entre los valores de las derivadas: $|f'(r) - u| = |f'(p) - u|$.

EDICIÓN:

Mi intento fue el siguiente:

Sea $f(x) = a x^2 + b x + c$, con derivada $f'(x) = 2a x + b$.

Esto da, con respecto a las restricciones de la derivada:

$2p a + b = t\\ 2r a + b = u$

o

$\begin{bmatrix} 2p & 1 \\ 2r & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t \\ u \end{bmatrix}$

Para lo cual podemos resolver

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \frac{1}{2(p-r)} \begin{bmatrix} t - u \\ 2pu - 2rt \end{bmatrix}$

Ahora podemos calcular

$f(p) - f(r) = a (p^2 - r^2) + b (p - r)$

Al darse cuenta de que esta diferencia realmente debería haber sido $q - s$, la función puede corregirse agregando una función lineal a ella. En otras palabras, ajustando $b$ al agregar $\frac{q - s - (a (p^2 - r^2) + b (p - r))}{p - r}$ a él.

Esto lleva a:

$a = \frac{t - u}{2(p - r)} \\ b = \frac{purt}{p - r} + \frac{q - s - (\frac{t - u}{2(p - r)} (p^2 - r^2) + \frac{purt}{p - r} (p - r))}{p - r} = \frac{purt+q-s+\frac{(u-t)(p+r)}{2}+rt-pu}{p - r}= \frac{2q-2s+(u-t)(p+r)}{2(p-r)}$

De lo cual c sigue trivialmente.

Curiosamente esto no es igual a lo que xpaul obtuvo...

Answer 1

Una función parabólica tiene la ecuación

$ f(x) = a x^2 + b x + c $

Está completamente determinada por tres parámetros que son $a, b, c$.

Las condiciones dadas en el problema conducen al sistema lineal completamente sobredeterminado en $a, b, c$:

$ a p^2 + b p + c = q $

$ a r^2 + b r + c = s $

$ 2 a p + b = t $

$ 2 a r + b = u $

Dado que deseas que se cumplan las primeras dos ecuaciones por $(a, b, c)$, entonces debes resolver el sistema subdeterminado más pequeño

$ a p^2 + b p + c = q $

$ a r^2 + b r + c = s $

Este es un sistema de rango $2$, y su solución será de la forma

$ [a, b, c]^T = X_0 + \lambda X_1 $

donde $X_0, X_1$ son $3$-vectores conocidos, y $\lambda$ es un parámetro libre, $\lambda \in \mathbb{R} $.

Ahora queremos que el error en $f'(p)$ y $f'(r)$ sea igual, es decir, queremos

$ 2 a p + b - t = 2 a r + b - u $

Esto se simplifica a

$ 2 a (p - q) = t - u $

Dado que $a$ depende linealmente de $ X_{01} $ y $X_{11} $, entonces esta condición siempre se puede cumplir.

¿Puedes seguir a partir de aquí?

Answer 2

Tomamos $$ f(x)=a(x-p)^2+b(x-p)+c. $$ Entonces $$ f'(x)=2a(x-p)+b. $$ Luego $f(p)=q$ y $f(r)=s$ implican $c=q$ y $$ a(r-p)^2+b(r-p)+q=s. \tag1$$ Además, $|f'(p) - t| = |f'(q) - u|$ implica $$ |b-t|=|2a(q-p)+b-u| $$ o $$ 2a(q-p)+b-u=\pm(b-t). \tag2 $$ Es fácil resolver $a$ y $b$ de (1) y (2). De hecho,

Caso 1: Tomamos el "+" en (2). Entonces $$ a= \frac{t-u}{2 p-2 q},b= \frac{p^2-2 p r+q+r^2-s}{p-r}. $$

Caso 2: Tomamos el "-" y luego (1) y (2) se convierten en \begin{eqnarray} \bigg\{\begin{array} ((r-p)^2a+(r-p)b=s-q,\\ (q-p)a+b=\frac12(t+u), \end{array} \end{eqnarray} lo cual da $$ a= \frac{2 p^2-p (4 r+t+u)+2 q+2 r^2+r t+r u-2 s}{2 (p-q) (p-r)},b= \frac{p^2-2pr+q+r^2-s}{p-r}. $$