Prueba de la separabilidad de los espacios $L^p$

Question

Lo siguiente es una demostración en el libro de Brezis. Muestra la separabilidad de los espacios $L^{p}$:

Tengo algunas preguntas sobre la demostración:

1. Se dice 'es fácil construir una función $f_{2} \in \varepsilon...$" y también dice "basta con dividir $R$ en cubos pequeños...'. ¿Funcionaría elegir $f_{2}$ de la siguiente manera:

   Supongamos que dividimos $R$ como se sugiere. Sea $R_{i}$ cada cubo pequeño de $R$, consideremos $f_{2_{i}} := C_{i}\chi_{R_{i}}$ donde $C_{i}$ es una constante elegida de $[0, \delta - (\text{sup} f|_{R_{i}} - \text{inf} f|_{R_{i}})$, luego tomamos $f_{2}(x) := \sum_{i}f_{2_{i}}(x)$. Entonces se seguiría que $\Vert f_{1} - f_{2} \Vert_{\infty} < \epsilon$. ¿Está bien esto?

2. ¿Alguien puede ver cómo se obtiene la desigualdad $\Vert f_{1} -f_{2} \Vert_{p} \leq \Vert f_{1}-f_{2} \Vert_{\infty}|R|^{\frac{1}{p}}$?

3. ¿Dónde exactamente se utiliza la separabilidad de $\Omega = \mathbb{R}^{N}$?

Nota que $\chi$ denota la función característica.

Gracias por cualquier ayuda. Avísame si algo no está claro.

Answer 1

1. Como mencionaste en un comentario, debes elegir $C_i \in \Big[ \inf f_1 \restriction R_i, \sup f_1 \restriction R_i \Big]$. De esta manera obtienes $\big\|f_1 -f_2\big\|_\infty < \delta$. Una elección adecuada de $\delta > 0$ (es decir, $\delta |R|^{\frac{1}{p}} < \varepsilon$) entonces te daría $\big\| f_1 - f_2\big\|_p \leq \varepsilon$.
2. $$ \big\| f_1 - f_2\big\|_p = \left(\int_R |f_1 - f_2|^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ \leq \left( \int_R \big\| f_1 - f_2\big\|_\infty^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ \left(|R|\cdot \big\| f_1 - f_2\big\|_p \right)^{\frac{1}{p}} \\ |R|^{\frac{1}{p}} \cdot \big\| f_1 - f_2\big\|_\infty.$$
3. Un espacio metrizable es separable si y solo si es segundo-numerable. Esto significa que la topología euclidiana en $\mathbb{R}^n$ tiene una base contable. Esta base contable está descrita explícitamente en el primer párrafo de la prueba y se pone en uso en el segundo párrafo.

Answer 2

Como has mencionado en un comentario, debes elegir $C_i \in \left[ \inf (f_1|_{R_i}), \sup(f_1|_{R_i})\right]$. De esta manera obtienes $\| f_1 − f_2 \|_{\infty} < \delta$. Una elección adecuada de $\delta > 0$ (tal que $\delta | R |^{\frac{1}{p} } < \varepsilon$) te daría $\| f_1 − f_2 \|_{p} \le \varepsilon$. ¿Alguien puede decirme cómo puedo obtener esta desigualdad $\| f_1 − f_2 \|_{\infty} < \delta$? Entiendo la demostración pero no sé cómo obtener esta desigualdad. Saludos cordiales