Inversa del integral elíptico de segundo tipo

Question

Los artículos de Wikipedia sobre integral elíptica y funciones elípticas afirman que "las funciones elípticas se descubrieron como funciones inversas de integrales elípticas". Algunas funciones elípticas tienen nombres y son funciones especiales conocidas, lo mismo ocurre con algunas integrales elípticas. ¿Pero cuál es la relación entre las funciones elípticas nombradas y las integrales elípticas nombradas?

Parece que la amplitud de Jacobi $\varphi=\operatorname{am}(u,k)$ es la inversa de la integral elíptica de primer tipo, $u=F(\varphi,k)$. O relacionado con esto, $x=\operatorname{sn}(u,k)$ es la inversa de $u=F(x;k)$. Me parece que todas las funciones elípticas de Jacobi se relacionan con la integral elíptica de primer tipo. Para otras funciones elípticas nombradas listadas por Wikipedia, como la función $\vartheta$ de Jacobi o la función $\wp$ de Weierstrass, es aún más difícil ver una relación con las integrales de Legendre.

¿Hay alguna manera de expresar la inversa de $E$, la integral elíptica de segundo tipo, en términos de algunas funciones elípticas nombradas? Es decir, dado $E(\varphi,k)=u$, ¿puedes escribir una expresión de forma cerrada para $\varphi$ en términos de $k$ y $u$ utilizando funciones especiales conocidas y operaciones aritméticas elementales?

En este post, el autor utiliza la función de Mathematica FindRoot para realizar este tipo de inversión, pero al leer ese post, no pude evitar preguntarme si existe una formulación más sencilla. Aunque la computación detrás de escena podría reducirse de hecho a encontrar raíces en cualquier caso, parece que esta tarea debería ser lo suficientemente común como para que alguien haya encontrado un nombre para el núcleo de esta computación.

Answer 1

$\def\E{\operatorname E} \def\F{\operatorname F} \def\I{\operatorname I}$

Mathematica ya tenía inversebetaregularized $\I^{-1}_z(a,b)$ que es una función cuantil para la distribución beta. Aunque la pregunta es resolver E$(x,m)=a$, hay formas cerradas en Mathematica que resuelven $\E(x,m)+c\F(x,m)=a$

1. Con la constante de lemnoisco de segundo orden L$_2$:

$$\E(x,2)=a\implies x=\frac12\sin^{-1}\left(\sqrt{\text I^{-1}_{\frac a{\text L_2}}\left(\frac12,\frac34\right)}\right),0\le a\le\text L_2$$

lo cual es correcto.

2. Observa Elliptic D$(x,m)$:

$$\E(x,-1)-\F(x,-1)=\operatorname D(x,-1)=a\implies x=\sin^{-1}\left(\sqrt[4]{\text I^{-1}_{\frac a{\text L_2}}\left(\frac34,\frac12\right)}\right),0\le a\le \text L_2$$

lo cual es correcto.

3.

$$\E(x,2)-\frac12\sin(2x)\cos^\frac32(2x)=a\implies x=\frac12\sin^{-1}\left(\sqrt{\I^{-1}_{\frac a{\text L_2}}\left(\frac32,\frac34\right)}\right),0\le a\le \text L_2$$

lo cual también [funciona](https://www.wolframalpha.com/input?i=ArcSin%5BSqrt%5BInverseBetaRegularized%5B%2816+%28EllipticE%28+0.4+%2C+2%29 +-1%2F2+cos%5E%283%2F2%29%282 +0.4 +%29 +sin%282 +0.4%29%29+Gamma%5B9%2F4%5D%29%2F%285+Sqrt%5BPi%5D+Gamma%5B3%2F4%5D%29%2C+3%2F2%2C+3%2F4%5D%5D%5D%2F2)

4. Utilizando la constante Baxter B:

$$\operatorname E(z,\sqrt[-3]{-1})-\left(\frac12+\frac i{2\sqrt3}\right)\operatorname F(z,\sqrt[-3]{-1}) =a\implies z=\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt[12]{-1}}{\sqrt[4]3}\sqrt{1-\sqrt[3]{\operatorname I^{-1}_{1-\sqrt[4]3\sqrt[3]4\sqrt[12]{-1}\text Ba}\left(\frac23,\frac12\right)}}\right),0\le \sqrt[12]{-1}a\le \frac1{\sqrt[4]3\sqrt[3]4\text B}$$

[mostrado aquí](https://www.wolframalpha.com/input?i=EllipticE%28x%2C%28-1%29%5E%28-1%2F3%29%29-%281%2F2%2Bi%2F%282%E2%88%9A3%29%29EllipticF%28x%2C%28-1%29%5E%28-1%2F3%29%29%2B%28-1%29%5E%2811%2F12%29%2F%282+2%5E%282%2F3%29+3%5E%281%2F4%29%29%2Cx%3D+asin%28sqrt%28%28-1%29%5E%281%2F6%29%2F3%5E%281%2F2%29%281 +-+%28inversebetaregularized%281-baxter%2F2.0%2C2%2F3%2C1%2F2%29%29%5E%281%2F3%29%29%29%29)

Parte real:

Parte imaginaria:

También hay otros casos especiales, pero son muy específicos y pueden no tener aplicaciones. La función $\text I^{-1}_z(a,b)$ también expresa muchos casos especiales de las funciones elípticas de Jacobi. También se puede usar la naturaleza periódica de las integrales elípticas para encontrar valores fuera de la restricción de $a$. Por favor, corríjame y déme retroalimentación.

Answer 2

Acabo de encontrar un problema físico (en mecánica clásica) que involucra la trayectoria de una partícula en la que tuve que tomar el inverso de $E(\phi,k)$, la integral elíptica incompleta de segundo tipo. Para la integral elíptica de primer tipo $F(x,k)$ esta es una tarea fácil porque la función elíptica de Jacobi $sn(x,k)$ (o JacobiSN(x,k) en software matemático) es simplemente $F^{-1}(x,k)$. Sin embargo, actualmente no hay una función incorporada para el inverso de $E(\phi,k)$. Mi solución computacional fue entonces construir un procedimiento para el inverso, usando FindRoot (en Mathematica 9.0) o fsolve (en Maple 2015). F.M.S. Lima (Universidad de Brasilia).

Answer 3

Sé que esto no es una forma cerrada, pero me interesaba esta pregunta y he encontrado que se pueden relacionar las dos funciones juntas como representaciones de series. He escrito un breve artículo aquí pero esta es la esencia de ello

Escribe \begin{equation} E(\phi, k) = \sum_{i=0}^\infty \frac{Q_i(k)}{(2i-1)!}\phi^{2i-1} \end{equation} donde $Q_i(k)$ son polinomios en $k$, a partir de la expansión en serie aquí podemos obtener una forma finita para estos polinomios como \begin{equation} Q_n(m) = 2(-4)^n\sum_{k=1}^n \frac{(2k-3)!!}{k!}\left(\frac{-m}{8}\right)^k \sum_{j=0}^{k-1} \binom{2k}{j}(-1)^{1-j}(j-k)^{2n}, \;\;\; n>0 \end{equation} con $Q_0(k)$ definido como $1$. Luego puedes escribir la serie inversa usando la reversión de series de una manera muy similar a $E(\phi, k)$ \begin{equation} \phi(E, k) = \sum_{i=0}^\infty \frac{R_i(k)}{(2i-1)!}E^{2i-1} \end{equation> donde la relación entre los nuevos polinomios $R_i(k)$ se da por la fórmula explícita de reversión encontrada en el enlace al final de este enlace, dando \begin{equation> R_n(k) = (2n)! \sum_{\tau_n=n}(-1)^{\sigma_n} \frac{\prod_{i=1}^{\sigma_n}2n+i}{\prod_{j=1}^n k_j!}\prod_{l=1}^n \left(\frac{Q_l(k)}{(2l+1)!}\right)^{k_l} donde $\sigma_n=k_1+k_2+k_3+\cdots+k_n$, y $\tau_n=k_1+2k_2+3k+3+\cdots + nk_n$ y la suma es sobre todos los conjuntos de índices $k_i$ que cumplen el requisito $\tau_n=n. No sé si se pueden hacer simplificaciones o trucos agradables para reducir esto a una forma funcional. El único elemento numérico aquí es converger la serie a la precisión deseada.