Si $X$ es un espacio vectorial normado y si para cada operador acotado $T \in B(X)$ con $\| T\| < 1$, el operador ${\rm id} - T$ es acotadamente invertible, ¿se sigue que $X$ es completo?
Contexto:
Es bien sabido que si $X$ es un espacio de Banach y si $T \in B(X) = B(X,X)$ es un operador lineal acotado en $X$ con $\| T \| <1$, entonces la serie de Neumann $\sum_{n=0}^\infty T^n$ converge (en la norma de operador) a $({\rm id} - T)^{-1}$. En particular, ${\rm id} - T$ es invertible.
Existen contraejemplos a este hecho si no asumimos que $X$ es completo. Por ejemplo, podemos tomar $X = \ell_0 (\Bbb{N})$ (las secuencias con soporte finito) y $T = \frac{1}{2} S$, donde $S$ es el operador de desplazamiento a la derecha. En este caso, es fácil ver que $\sum_{n=0}^\infty T^n$ no converge a un operador bien definido de $X$ a $X$.
Después de encontrar el contraejemplo anterior, me pregunté si podemos caracterizar la completitud del espacio vectorial normado $X$ por la propiedad mencionada en la pregunta anterior.
Pensamientos sobre el problema:
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De manera equivalente, podríamos requerir que $\sum_{n=0}^\infty T^n$ converja a un operador bien definido de $X\to X$ tan pronto como $\|T\|<1$, ya que en la completación $\overline{X}$, sabemos que $T$ se extiende a un operador lineal continuo $\overline{T} : \overline{X} \to \overline{X}$ con $\| \overline{T} \| = \| T\|<1$, de modo que $S := {\rm id_{\overline{X}}} - \overline{T}$ es invertible con $S^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \overline{T}^n$ y la restricción de $S^{-1}$ a $X$ es la inversa de ${\rm id} - T$, por lo que $({\rm id}_X - T)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty T^n$.
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Sé que $X$ es completo si y solo si $B(X)$ lo es, por lo que sería suficiente mostrar que $B(X)$ es completo.
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Para mostrar que un espacio vectorial normado $Y$ es completo, basta con demostrar que la "convergencia absoluta" de una serie implica convergencia, o incluso más restrictivo, que si $\|x_n\|\leq 2^{-n}$ para todo $n$, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge en $Y$.
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Mi problema al aplicar la observación 3 a $Y = B(X)$ es que solo sabemos que la declaración para 3 es verdadera para $x_n = T^n$ con $T$ adecuado, lo cual parece ser demasiado restrictivo.
De hecho, no sé cómo construir ningún tipo de operadores acotados no triviales en un espacio vectorial normado general $X$, aparte de operadores de la forma $x \mapsto \varphi(x) \cdot x_0$ (y combinaciones lineales de estos), donde $\varphi $ es un funcional acotado en $Y$ y $x_0 \in Y$.
Pero para operadores como los mencionados anteriormente (es decir, con rango de dimensión finita), la convergencia de la serie $\sum_{n=0}^\infty T^n$ siempre es cierta, ya que de hecho solo necesitamos considerar un subespacio de dimensión finita, que ciertamente es completo.
