¿Cuál es la razón para introducir y estudiar las funciones logarítmicas?

Question

No entiendo por qué existen los logaritmos cuando tenemos funciones exponenciales. Las funciones exponenciales parecen ser una forma más fácil y menos complicada de escribir algo. ¿Por qué inventar logaritmos para hacer algo que los exponentes ya hacen bien?

Answer 1

Hay muchas aplicaciones para los logaritmos

Hay cosas que se pueden resolver sin logaritmos. Toma por ejemplo:

$$4.9^x=34.185$$

Sin logaritmos podrías intentar tomar la raíz $x$-ésima, y realmente terminar dando vueltas, con logaritmos, podemos resolver esto de la siguiente manera.

$$\log 4.9^x=\log34.185$$ $$x\log 4.9=\log34.185$$ $$x=\frac{\log34.185}{\log 4.9}$$

Answer 2

Los logaritmos colocan los números en una escala amigable para los humanos, como la escala de Richter, la escala de Decibeles, etc ... Por ejemplo, considera los siguientes datos y mira cómo es más fácil comparar las diferentes distancias al lidiar con logaritmos:

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Distancia }x & \log_{10}(x) \\ \hline \text{Terra a Alpha Centauri} & 4.1 × 10^{16}\,\rm m & 16.61 \\ \hline \text{Terra a Plutón} & 5.9 × 10^{12}\,\rm m & 12.77 \\ \hline \text{Toronto a Vancouver} & 3.4 × 10^6\,\rm m & 6.53 \\ \hline \text{Altura del adulto promedio} & 1.78\,\rm m & 0.25 \\ \hline \text{Grosor de un cabello humano} & 1.0 × 10^{-4}\,\rm m & –4.00 \\ \hline \text{Radio de Bohr} & 5.0 × 10^{-11}\,\rm m & –10.3 \\ \hline \end{array}$$

Ver: Escala logarítmica.

Pero si los logaritmos han perdido su papel como el centro de las matemáticas computacionales, la función logarítmica sigue siendo central en casi todas las ramas de las matemáticas, puras o aplicadas. Aparece en una gran cantidad de aplicaciones, que van desde la física y la química hasta la biología, psicología, arte y música.
— Eli Maor en e: The Story of a Number

Answer 3

Dado cualquier $b > 0$ entonces $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ por $f(x) = b^x$ es una función biyectiva, es decir, uno a uno y sobre. Esto significa que $f^{-1}:(0, \infty) \to \mathbb{R}$ existe. Además, denotamos esta función inversa como $f^{-1}(x) = \log_b(x)$. Es decir, $\log_b$ es exactamente la función inversa de la función exponencial con base $b$.

Entonces, ¿por qué existen las funciones logarítmicas? Es porque las funciones exponenciales son uno a uno. Ya sea que quieras usar logaritmos o no, existen porque una función biyectiva tiene una inversa.

Answer 4

Los logaritmos fueron inventados originalmente para facilitar la multiplicación (como en, realmente calcular el producto de dos números a mano) más fácil. Fueron desarrollados por un hombre, John Napier, en el siglo XVI, específicamente como un método para multiplicar a mano.

El razonamiento fue el siguiente. Ya se había notado en ese momento que si se considera la secuencia de potencias de un número, digamos $1, 2, 4, 8, 16...$, entonces multiplicar dos números en esa secuencia se puede hacer simplemente sumando sus posiciones en la secuencia. Esto es simplemente otra forma de decir $x^ax^b=x^{a+b}$. Desafortunadamente, la mayoría de los números no están en la secuencia $1, 2, 4, 8...$, por lo que el truco no es muy útil.

La idea original de Napier fue simplemente usar una base muy pequeña, digamos $1.000001$. Entonces la secuencia de sus potencias crecerá muy lentamente, y así, aunque no todos los números estén en la secuencia, cada número estará al menos cerca de un elemento de la secuencia. Por lo tanto, si necesita multiplicar dos números, simplemente puede aproximarlos por elementos de la secuencia y luego usar el truco discutido en el párrafo anterior.

Utilizando el concepto de exponentes fraccionarios, que seguramente has visto si estás estudiando logaritmos, podemos prescindir de tener que usar una base pequeña al llenar efectivamente los espacios entre los elementos de la secuencia.

Por eso se investigaron originalmente los logaritmos. Hoy en día no necesitamos recurrir a trucos como ese solo para hacer multiplicaciones. Pero una vez que tenían un nombre, comenzaron a aparecer en todo tipo de lugares. Por eso enseñamos a los estudiantes sobre logaritmos hoy en día. Por ejemplo, para integrar $\frac 1 x$ en cálculo, "necesitas el logaritmo". Por supuesto, podrías simplemente integrarlo numéricamente, pero es útil saber que el resultado de esa integración es en realidad una función con ciertas propiedades algebraicas y que surge como respuesta a otros problemas también.

Answer 5

¿Por qué inventar logaritmos para hacer algo que los exponentes ya hacen muy bien?

Los exponentes hacen exactamente lo opuesto a los logaritmos, por lo que esta pregunta es un non sequitur. Sin embargo, si estás investigando sobre los usos prácticos de los logaritmos, estos pueden variar desde la banca (tasas de interés, por ejemplo) hasta el cálculo de la edad de la Tierra (basado en las semividas de varios elementos radiactivos), biología (ya que nuestros órganos sensoriales perciben el mundo circundante de manera logarítmica), hasta ingeniería (la llamada escala logarítmica, que facilita el estudio de muchos procesos), etc. También te sugeriría leer la siguiente sección.