Inyectabilidad del homomorfismo en la localización

Question

Dejemos que $\alpha:A\to B$ sea un homomorfismo de anillo, $Q\subset B$ un ideal primario, $P=\alpha^{-1}(Q)\subset A$ un ideal primo. Consideremos el mapa natural $\alpha_Q:A_P\to B_Q$ definido por $\alpha_Q(a/b)=\alpha(a)/\alpha(b)$ . Supongamos que $\alpha$ es inyectiva. Entonces es $\alpha_Q$ ¿siempre es inyectiva?

Yo creo que sí, pero está claro que soy demasiado denso para demostrarlo. Mi argumento es el siguiente.

Dejemos que $\alpha(a)/\alpha(b)=0$ . Entonces $\exists c \in B\setminus Q$ s.t. $c\alpha(a)=0$ . Si $B$ es un dominio hemos terminado. Si no es así debemos exhibir algún $d\in A\setminus P$ s.t. $da=0$ . Obviamente, esto es cierto si $c =\alpha(d)$ . Pero no veo que tenga ninguna información que lo demuestre.

¿Me equivoco y esto es realmente falso? Si es así, ¿podría alguien mostrarme el contraejemplo trivial que debo estar pasando por alto?

Muchas gracias.

Answer 1

Toma $A=K[X]$ , $B=K[X,Y]/(XY)$ y $\alpha$ la siguiente aplicación $$A=K[X]\subset K[X,Y]\rightarrow K[X,Y]/(XY)=B.$$ Obviamente $\alpha$ es inyectiva. Escribe $B=K[x,y]$ con $xy=0$ . Dejemos que $Q=xB$ . Es evidente que $Q$ es primo ( $B/Q\cong K[Y]$ ) y $P=\alpha^{-1}(Q)=XA$ . Ahora elija $\frac{X}{1}\in A_P$ y observar que $\alpha(\frac{X}{1})=\frac{x}{1}$ . Pero $\frac{x}{1}=\frac{0}{1}$ en $B_Q$ porque $yx=0$ y $y\in B-Q$ .

Answer 2

Dado que la geometría algebraica es una de las etiquetas, permítanme dar una explicación geométrica del problema: se da Spec $B \to $ Espec $A$ dominante, y se quiere demostrar que ésta no es necesariamente dominante en un n.h. de algún punto $Q$ de Spec $B$ . La forma básica para conseguirlo es organizar Spec $B$ para ser la unión de dos componentes, uno que mapea dominantemente a Spec $A$ y otra que no, y tomar $Q$ para ser un punto que se encuentra (sólo) en la componente que no tiene un mapa dominante. Esto es lo que ocurre en la respuesta aceptada: Spec $B$ son dos líneas que se cruzan, Spec $A$ es una sola línea, y el mapa es la identidad en la primera línea y la constante en la segunda. El punto $Q$ se toma entonces como el punto genérico de la segunda línea.

Answer 3

La pregunta es correcta, ¿no? En realidad, véase un ejercicio (2.18b) del capítulo 2 de geometría algebraica de Hartshorne.Dado un homomorfismo de anillo $f:A \to B$ dejemos $g:SpecB \to SpecA$ Entonces f es inyectiva si el mapa de las láminas $g^\sharp:O_{SpecA} \to g_*O_{SpecB}$ es inyectiva. Obsérvese que $g^\sharp $ es inyectiva si para cualquier $ a \in A$ , $ g^ \sharp(D(a)):O_{SpecA}(D(a)) \to g_*O_{SpecB}(D(a))$ es inyectiva, es decir, para cualquier $ a \in A$ , $ g^ \sharp_a:A_a \to B_{f(a)}$ es inyectiva, por lo que la cuestión es que f es inyectiva si $g^\sharp_a$ es inyectiva para cualquier $a\in A$ La prueba es la siguiente: parte "si", suponga $g^\sharp $ es inyectiva, tomando la sección global (nótese que tomar el functor global es exacto a la izquierda) tenemos $fA \to B $ es inyectiva. La parte "sólo si", si $f:A \to B $ es inyectiva, y $g^\sharp_a(c/a^n)=f(c)/f(a^n)=0 \in B_{f(a)}$ entonces existe algún intrger $m$ tal que $ f(c)f(a)^m=0$ lo que implica $ f(ca^m)=0 $ ya que f es inyectiva, $ ca^m=0$ Así que $c/a^n=0$ Q.E.D. Según esta conclusión, un homomorfismo de anillo f es inyectivo si para cualquier $p\in SpecB$ el mapa inducido $g^\sharp_p:O_{SpecA,f^{-1}(p)} \to O_{SpecB,p}$ En el lenguaje de la categoría, este hecho afirma que, dado que la categoría de esquemas afines es equivalente a la categoría opuesta de la categoría de anillos conmutativos con identidad, la inyectividad de los homomorfismos de anillos es equivalente a la inyectividad de los morfismos de esquemas afines, nótese que la inyectividad de los morfismos de gavillas es equivalente a la inyectividad de los morfismos de gavillas sobre tallos, por lo que el resultado no es extraño.