Los rectángulos medibles cerrados generan $\mathscr{B}(\mathbb{R}^2) ?$

Question

Dada la siguiente proposición: X, Y variables aleatorias son independientes $\iff$ $\forall \hspace{0.1cm} f,g \in C_b(\mathbb{R})$ se cumple que $\mathbb{E}[f(X)g(Y)] = \mathbb{E}[f(X)]\mathbb{E}[g(Y)]$

Creo que la prueba de $[\Rightarrow]$ utiliza adecuadamente el teorema de Fubini-Tonelli.

Por otro lado, no estoy seguro de cómo concluir a partir de lo siguiente: Tomemos $f_n,g_n \in C_b(\mathbb{R})$ tal que $f_n \uparrow I_C,g_n \uparrow I_C'$ puntualmente, donde $C,C'$ están cerrados en $\mathbb{R}$, se deduce que utilizando convergencia monótona

$$\mathbb{P}(X \in C, Y \in C') = \mathbb{E}[I_C I_C'] = \mathbb{E}[\lim\limits_{n \to +\infty}f_n(X)g_n(Y)]$$ $$= \lim\limits_{n \to +\infty} \mathbb{E}[f_n(X)g_n(Y)] = \lim\limits_{n \to +\infty} \mathbb{E}[f_n(X)] \mathbb{E}[g_n(Y)] = \mathbb{P}(X \in C)\mathbb{P}(Y \in C')$$

Luego me gustaría concluir con un criterio de coincidencia de medidas, pero no estoy seguro ya que se supone que debo afirmar que los rectángulos medibles cerrados, es decir, $A \times B : A \in \mathscr{B}(\mathbb{R}), B \in \mathscr{B}(\mathbb{R})$ con $A,B$ cerrados en $\mathbb{R}$, generan $\mathscr{B}(\mathbb{R}^2)$. ¿Es esto cierto? En caso afirmativo, ¿hay una forma elegante de demostrarlo?

Answer 1

Me centraré en la pregunta si los rectángulos medibles cerrados generan el álgebra de Borel en $\mathbb{R}^2$. Es decir, mostraré que $$\mathcal{C}:=\sigma(\{A \times B\mid A , B \text{ subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}$}\})= \mathcal{B}(\mathbb{R}^2).$$

Primero nota que si $A$ y $B$ son subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}$, entonces $A \times B$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^2$. En particular, $A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. Por lo tanto, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ es un $\sigma$-álgebra que contiene todos los rectángulos de conjuntos cerrados, así que por minimalidad de $\mathcal{C}$ tenemos $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

Recíprocamente, nota que cada conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ es la unión numerable de conjuntos de la forma $]a,b[\times ]c,d[$ (a estos se les llama cubos abiertos). Cualquier unión puede hacerse numerable por ejemplo usando un argumento de densidad. Luego, nota que $]a,b[ \times ]c,d[$ está en $\mathcal{C}$, ya que es el cubo cerrado $[a,b] \times [c,d]$ del que se han eliminado los lados (se pueden describir explícitamente los lados como una unión finita de conjuntos de la forma $A \times B$ donde o bien $A$ o $B$ es un singleton). Concluimos que cada conjunto abierto está en $\mathcal{C}$ y por lo tanto $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\subseteq \mathcal{C}$.