Medida de Borel tomando un número finito de valores

Question

Estaba resolviendo algunos problemas en teoría de la medida y me encontré con este problema bastante interesante:

Sea $\mu$ una medida de Borel en $\mathbb{R}$ con $\mu(\mathbb{R})=1$ y $\mu(A) \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$ para todo conjunto de Borel $A$. Demostrar que $\mu$ solo toma un número finito de valores.

¿Cómo se aborda siquiera este problema? Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Pista: Argumenta por contraposición: suponiendo que $\mu$ alcanza infinitos valores, muestra que hay infinitos conjuntos disjuntos de medida estrictamente positiva. Luego muestra que hay una secuencia $(A_n)_n$ de conjuntos disjuntos tal que $0<\mu(A_n)<\mu(A_{n-1})/4$. Dada esta secuencia, muestra que el conjunto $\{\sum_{n\in X} \mu(A_n)| X\subseteq \mathbf N \}$ es incontable (demostrando que subconjuntos distintos de $\mathbf N$ resultan en sumas distintas).

Answer 2

Desde la descomposición de Lebesgue de una medida, tenemos que $\mu=fdm+\nu$

donde $m$ es la medida de Lebesgue y $\nu$ es singular respecto a la medida de Lebesgue.

También podemos descomponer $\nu$ en $\nu_1$ y $\nu_2$ donde $\nu_1$ es una medida continua y $\nu_2=\sum_{x \in A}\mu(\{x\})\delta_x$ donde $A$ es un conjunto contable y $\mu(\{x\})>0 ,\forall x \in A$

Observa que las funciones $F(x)=\int_{-\infty}^xf(x)dm$ y $G(x)=\nu_1((-\infty,x])$ son continuas (dado que las medidas son continuas) con valores en $\Bbb{Q} \cap [0,1]$, por lo que, por el Teorema del Valor Intermedio, deben ser constantes y por lo tanto deben ser cero.

Así probamos que $\mu$ es una medida discreta.

Si $A$ es infinito, toma una enumeración de $A$ como $A=\{x_n:n\in \Bbb{N}\}$

y pruebe que el conjunto $\{\sum_{n \in I}\mu(\{x_n\}):I \subseteq \Bbb{N}\}$ es innumerable.