Estoy tratando de demostrar si $M$ es un módulo, $G_1$, $G_2$ submódulos de $M$ y $M/G_1$ y $M/G_2$ son Noetherianos, entonces $M/(G_1\cap G_2)$ es Noetheriano.
He intentado por fuerza bruta (escribiendo explícitamente una cadena ascendente), por el segundo teorema fundamental de los isomorfismos, etc... sin éxito.
Realmente necesito ayuda.
Muchas gracias.
Considera el mapa canónico
$$\Phi \colon M \to M/G_1 \times M/G_2; \quad \Phi(m) = ([m]_{G_1},\, [m]_{G_2}).$$
El núcleo es $\ker \Phi = G_1 \cap G_2$, entonces $\Phi$ induce una incrustación
$$\varphi \colon M/(G_1 \cap G_2) \hookrightarrow M/G_1 \times M/G_2.$$
$P = M/G_1 \times M/G_2$ es Noetheriano (¿por qué?), $M/(G_1\cap G_2)$ es isomorfo a un submódulo de $P$. Un submódulo de un módulo Noetheriano es Noetheriano (¿por qué?).
Considera los módulos $M/(G_1 \cap G_2)$ y nota que $G_1/(G_1 \cap G_2)$ es un submódulo. Entonces tenemos que $$\frac{M/(G_1\cap G_2)}{G_1/(G_1\cap G_2)} \cong M/G_1$$ es Noetheriano.
Por otro lado, el tercer teorema de isomorfismo (para módulos) nos dice que $G_1/(G_1\cap G_2)$ es isomorfo a $(G_1+G_2)/G_2,$ que es un submódulo del módulo Noetheriano $M/G_2$ y, por lo tanto, es Noetheriano. Entonces deducimos que $G_1/(G_1 \cap G_2)$ es Noetheriano.
Finalmente, considera la secuencia exacta $$0\rightarrow G_1/(G_1 \cap G_2) \xrightarrow{\iota} M/(G_1 \cap G_2)\xrightarrow{\rho} \frac{M/(G_1\cap G_2)}{G_1/(G_1\cap G_2)} \to 0,$$
donde $\iota$ es el mapa de inclusión y $\rho$ es la proyección canónica.
Dado que los módulos izquierdo y derecho de la secuencia exacta son ambos Noetherianos, deducimos que el módulo deseado es Noetheriano.
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