¿Difiere el trabajo entre sistemas de referencia inerciales?

Question

Tengo una pregunta sobre la dependencia del marco tanto de la energía cinética como del trabajo.

1. Pude demostrar que si tengo un sistema de partículas con masas $m_i$ y momentos $p_i$, entonces el cambio en la energía cinética es invariante bajo la transformación de Galileo solo si el momento total se conserva.
2. Si el momento no se conserva, entonces el cambio en la energía cinética no es invariante, por lo tanto (según el teorema de la energía-trabajo), el trabajo realizado es diferente entre marcos.
3. Mi mejor idea hasta ahora es que el trabajo es $\text{potencia}\times\text{tiempo}$ y la potencia es $F \cdot v$. Dado que los marcos inerciales están de acuerdo en $F$, pero no en $v$, la potencia depende del marco. Por lo tanto, el trabajo también depende del marco, ¡pero esto no tiene sentido para mí! Si ejerzo cierto trabajo para mover las cosas aparte, por ejemplo en un marco, todos los demás deberían verme haciendo el mismo trabajo, ¿verdad? ambos estamos de acuerdo con la fuerza $F$ y la trayectoria $dr$.
4. Otra pregunta adicional, ¿qué pasa con la energía potencial, depende del marco? Esto debería seguir de la respuesta a "¿es el trabajo dependiente del marco?", ¿verdad?

Toma un ejemplo simple de una pelota de masa 1 kg empujada para ir de 0 m/s a 1 m/s en un marco y de 9 m/s a 10 m/s en otro marco. ¿Cuál es el trabajo realizado en ella? ¿Y cuál es el significado de cada número en ese marco?

Answer 1

La conclusión: El trabajo realizado depende de diferentes marcos. Veamos un ejemplo simple. Digamos que hay un objeto (1kg) que inicialmente está en reposo y aplicamos una fuerza constante para moverlo a cierta distancia y alcanzar 2m/s en el marco de referencia de reposo (llamémoslo O). El cambio de energía cinética en el marco O es de 2J. Ahora consideremos un marco en movimiento O' moviéndose con una velocidad de 1m/s hacia la izquierda con respecto al marco O. En el marco O', el objeto inicialmente se mueve hacia la derecha con una velocidad de 1m/s (NO en reposo), y la velocidad final es de 3m/s, el cambio de energía cinética en el marco O' = 4J, que es diferente al de O. Sabemos que en este caso simple el cambio de energía cinética debe ser igual al trabajo realizado sobre el objeto, y esto debe ser cierto en ambos marcos. Por lo tanto, concluimos que el trabajo realizado es diferente en diferentes marcos. No es difícil de entender, ya que en el marco O', el objeto se está moviendo con una velocidad promedio mayor cuando la fuerza actúa sobre él. Dado que el tiempo en que se aplica la fuerza sobre el objeto debe ser el mismo en ambos marcos, el desplazamiento del objeto en el marco O' es de hecho mayor y el trabajo resultante también es mayor.

Answer 2

Sí, el trabajo puede diferir en marcos de referencia inerciales como otros han discutido. También preguntaste sobre la energía química de tu cuerpo en numerosos comentarios.

La energía de tus músculos es un cambio en la energía interna (quemar alimentos), no trabajo. Ese cambio en la energía interna se puede usar para realizar trabajo. Por ejemplo, un motor de un automóvil quemando gasolina (cambio en la energía interna) puede aumentar la energía cinética rotacional de las ruedas motrices (realizar trabajo) que la fricción convierte en parte en energía cinética translacional para mover el automóvil hacia adelante.

Además, en marcos de referencia no inerciales, las fuerzas ficticias contribuyen al trabajo.

Answer 3

En cuanto a la última parte de tu pregunta, lo que estás descuidando es la parte de la reacción igual y opuesta. Supongamos que estoy de pie en un vagón de tren y tiro una pelota. No solo acelero la pelota hacia adelante, sino que también acelero el vagón del tren hacia atrás en una cantidad muy pequeña. En un marco donde el tren está completamente detenido, esto significa que utilizo energía química tanto para impartir energía cinética principalmente a la pelota, pero también un poco al tren.

Ahora haz lo mismo en un tren que rueda libremente, en movimiento (o en un marco respectivo), de modo que el tren se esté moviendo en la dirección del lanzamiento (o en la dirección opuesta). Por un lado, la pelota gana más energía cinética, pero por otro lado, la velocidad y por lo tanto la energía cinética del tren se reduce. Entonces lo que sucede es que utilizas energía química para impartir energía cinética a la pelota, pero también conviertes parte de la energía cinética del tren en energía cinética de la pelota. Si tienes eso en cuenta, verás que la energía química necesaria en ambos casos es la misma. (Como será el caso para cualquier energía potencial si se define adecuadamente, solo cambia la parte cinética).

En caso de que no quieras estar en el tren, también puedes hacer lo mismo estando en el suelo. Si lanzas una pelota, entonces no solo hay fuerzas entre tú y la pelota, sino también entre tú y el suelo. En un marco no en movimiento, estas últimas no realizan trabajo, ya que no cubren ninguna distancia. Sin embargo, en un marco en movimiento, la misma fuerza recorre una distancia y de alguna manera el suelo realiza trabajo, lo que nuevamente produce precisamente la energía faltante necesaria para el cambio en la energía cinética de la pelota.

Esto es independientemente de la fuente de la fuerza, ¡incluso si no era una fuerza de contacto como un campo gravitacional o eléctrico. Al final del día, ¡estos campos tienen una fuente! Si esta fuente se tuviera en cuenta, obtendríamos el mismo trabajo realizado. (Por cierto, la fuerza de contacto es electromagnética, así que no es diferente)

Luego el problema se planteó desde:

1. adjuntar el marco a uno de los cuerpos que interactúan y esto lo hizo no inercial.
2. preguntar sobre el trabajo en la pelota y no darse cuenta de que también hay otros trabajos que deben tenerse en cuenta.

Lo que realmente dice esto es que necesitas tener en cuenta todos los cuerpos que interactúan para que todas las fuerzas sean internas, y se aplique la conservación del momento, y si este es el caso, el cambio en la energía cinética total sería invariante y el trabajo total también sería invariante.

Answer 4

Si ejerzo cierto trabajo para separar cosas, por ejemplo en un marco, todos los demás deberían verme haciendo el mismo trabajo, ¿verdad?

Sin darte cuenta, aquí estás describiendo una situación en la que un observador en un marco diferente considera el punto de vista de tu marco. Realmente es solo el hecho de que estás imaginando que ellos piensan todo esto desde su punto de vista lo que te da la falsa impresión de que es "su marco de referencia". No lo es.

Cuando dices "me ven haciendo X trabajo", en realidad están observándote e imaginando tu marco.

Si realmente usaran las velocidades relativas a su marco, el trabajo que calculen sería realmente diferente.

Answer 5

Dejemos un punto moviéndose en una curva $Γ=Γ(t)\subset \Bbb R^2$ parametrizada por el tiempo $t\in [α.β]$. Suponemos dos marcos de referencia inerciales $xOy$ y $x'O'y'$, por lo que el vector de posición del punto es $\mathbf r$ y $\mathbf r'$ respectivamente. Además $\mathbf r-\mathbf r'=\mathbf {OO'}$, lo que nos da $\frac {d^2\mathbf r}{dt}=\frac {d^2\mathbf r'}{dt}\implies m\frac {d^2\mathbf r}{dt}=m\frac {d^2\mathbf r'}{dt}\implies \mathbf F=\mathbf F'\implies \mathbf F\cdot d\mathbf r =\mathbf F'\cdot d \mathbf r'\implies \int_{Γ(t)}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{Γ(t)}\mathbf F'\cdot d \mathbf r'\implies W=W',$ porque $d(\mathbf r-\mathbf r')=d(\mathbf {OO'})\implies d\mathbf r=d\mathbf r'$.

La respuesta anterior trata sobre marcos de referencia inerciales con velocidad cero. Si hablamos de la Transformación de Galileo, tenemos como de costumbre $x=x', y=y', z=z'+vt$. Dado que $v$ es constante, la segunda derivada temporal de los tres coeficientes es invariante, por lo que la aceleración es la misma, $a=a'$, lo que significa que $F=F'$. Luego $W=Fd$ y $W'=F'd'=F(d+vt)=Fd+Fvt=W+Fvt$, lo que significa que el trabajo tiene un cambio de $Fvt$ en comparación con el primero.

*Acerca de la invarianza de la integral de línea anterior: Dejemos una curva parametrizada como $Γ=Γ(t)$ en $xΟy$ y $Γ'=Γ'(t)$ en $x'O'y'$, $t\in [α,β]$. Luego, usando los símbolos anteriores, obtenemos $W'=\int_{Γ'} m\frac {d^2\mathbf r'}{dt^2}\cdot d\mathbf r'=\int_{α}^{β}m\frac {d^2 \mathbf r'}{dt^2} (\mathbf γ'(t))\cdot \frac {d\mathbf γ'}{dt}(t)dt=\int_{α}^{β} m\frac {d^2 (\mathbf r -\mathbf a)}{dt^2} (\mathbf γ(t))\cdot \frac {d(\mathbf γ -\mathbf a )}{dt}(t)dt=\int_{α}^{β} m\frac {d^2 \mathbf r}{dt^2} (\mathbf γ(t))\cdot \frac {d\mathbf γ}{dt}(t)dt= \int_{Γ} m\frac {d^2\mathbf r}{dt^2}\cdot d\mathbf r=W$.