Calcular $\left|C_{S_{12}}(\sigma)\right|$ siendo $\sigma=\left(1...6\right)\left(7...12\right)$

Question

Pregunta

Calcular $\left|C_{S_{12}}(\sigma)\right|$ mientras que $\sigma=\left(1...6\right)\left(7...12\right)$

Mi intento

Queremos calcular el tamaño del conjunto $\{t\sigma=\sigma t\}$

En su lugar consideremos $\sigma\mapsto t\sigma t^{-1}$

Sabemos que cualquier permutación que dos permutaciones sean intercambiables (dk el término exacto que significa que $a=bab^{-1}$) si tienen la misma estructura de ciclo.

por lo tanto necesitamos encontrar la cantidad de permutaciones en $\sigma_{12}$ con 2 ciclos de orden 6. esto es $\left(\begin{array}{c} 12\\ 6 \end{array}\right)$ .

Ahora según el estabilizador de órbita eso significa que

$|S_{12}|=G_{\sigma}$$\left(\begin{array}{c} 12\\ 6 \end{array}\right)$

por lo tanto $\frac{12!}{\left(\begin{array}{c} 12\\ 6 \end{array}\right)}=G_{\sigma}$

¿Y este es el tamaño que busco?

Answer 1

Así es como puedes calcular el centralizador de esta y cualquier otra permutación. Sea $\sigma=(1,2,\ldots,6)(7,8,\ldots,12)$. Sea $$ \tau= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & 12\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_{12} \end{pmatrix}. $$ Entonces tenemos (de permutaciones multiplicamos de derecha a izquierda) $$ \tau\sigma\tau^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & 12\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_{12} \end{pmatrix} (1,2,3,4,5,6)(7,8,9,10,11,12) \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \ldots & i_{12}\\ 1 & 2 & \ldots & 12 \end{pmatrix} $$ $$ =(i_1, i_2, \ldots, i_{6})(i_7, i_8, \ldots, i_{12}). $$ Ahora $\tau\in C(\sigma)$ si y solo si $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma$. Por lo tanto tenemos la igualdad $$ (1,2,\ldots,6)(7,8,\ldots,12)=(i_1, i_2, \ldots, i_{6})(i_7, i_8, \ldots, i_{12}). $$ Si se dan $i_1$ e $i_7$, los símbolos restantes $i_k$ están definidos de forma única. Hay exactamente $12$ posibilidades para $i_1$. Después de elegir $i_1$ para $i_7$ hay exactamente 6 posibilidades.

Entonces $|C(\sigma)|=12\cdot6$.