Estados Unidos y Rusia rutinariamente envían señales láser a reflectores retroinstalados en la Luna para medir las distancias a nuestro satélite con precisión. La Luna está ligeramente a más de un segundo luz de distancia y, por lo tanto, el viaje de ida y vuelta para un fotón tomaría poco más de dos segundos. Una partícula emitida desde la Tierra tendría dificultades para volver a seguir su trayectoria idéntica después de que la Tierra se haya movido unos 70 km desde el origen, especialmente si el espacio también está deformado. Entonces, ¿cómo puede detectarse la luz láser si la Tierra se ha alejado del rayo de retorno?
Respuesta
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WetSavannaAnimal aka Rod Vance
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Presumo que tus 70 km vienen de la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol de $30{\rm km\,s^{-1}}$ multiplicada por el tiempo de viaje de regreso a la Luna de 2.5 segundos para un pulso de luz.
Sin embargo, recuerda que, aunque la Tierra orbita alrededor del Sol a aproximadamente $30{\rm km\,s^{-1}}$, ¡también lo hace todo el sistema Tierra-Luna! A una muy buena aproximación, el sistema Tierra-Luna puede considerarse en caída libre alrededor del Sol (el único error son los efectos de marea del Sol sobre el ancho del sistema), y por lo tanto, el único movimiento relevante en esta imagen es el de la Luna en relación con la Tierra. La velocidad orbital de la Luna alrededor de la Tierra es de aproximadamente $1{\rm km\,s^{-1}$, por lo que es simplemente cuestión de apuntar un poco más adelante (unos 1,200 metros) del sitio del reflector para tener en cuenta el movimiento relativo. En cualquier caso, el haz láser tiene aproximadamente siete kilómetros de diámetro cuando llega a la Luna, por lo que el método seguiría funcionando incluso si no se tiene en cuenta el movimiento de la Luna. Presumiblemente, la relación señal-ruido mejora teniendo en cuenta el movimiento, aunque esta compensación se volverá más importante para futuros experimentos más precisos cuando los retroreflectores de la Luna finalmente sean reemplazados.
Los efectos de la relatividad general son casi insignificantes en este problema: las geodésicas ligeras son líneas radiales desde la Tierra de todos modos y cuando agregamos la gravedad de la Luna a la ecuación, bueno, la deflexión de un rayo de luz rozando la superficie de la Luna sobrestima cualquier desviación y, dado que el radio de Schwarzschild de la Luna $r_s$ es del orden de 90 micrómetros (la masa de la Luna es dos órdenes de magnitud inferior a la de la Tierra y el SR de esta última es 9 mm), la deflexión de dicho rayo es $2\,r_s/r_M$, donde $r_M$ es el radio de la Luna. Por lo tanto, cualquier deflexión es menor a $10^{-10}$ radianes, o $2\times 10^{-5}$ segundos de arco. Como veremos a continuación, esto es totalmente insignificante en comparación con los efectos de aberración relativista especial debido al movimiento relativo Tierra-Luna.
La forma más limpia de cuantificar la aberración relativista debida al movimiento relativo de la Luna es calcular las imágenes de los rayos incidentes y reflejados desde el retroreflector de la Luna bajo la transformación de Lorentz que vincula los marcos de la Tierra y la Luna. Suponiendo que el impulso entre los marcos sea en la dirección $x$, la imagen de la forma un uno vector de onda $K=\left(\frac{\omega}{c},\,-k_x,\,-k_y,\,-k_z\right)$ bajo un impulso $x$ de rapidez $\eta$ es $\left(k\,\cosh\eta+k_x\,\sinh\eta,\,k\,\sinh\eta+k_x\,\cosh\eta,\,k_y,\,k_z\right)$. Al calcular las imágenes de un vector de onda y otro que viaja en la dirección opuesta en el marco de la Luna, i.e., al calcular las imágenes de $K_\pm=\left(\frac{\omega}{c},\,\mp k_x,\,\mp k_y,\,\mp k_z\right)$, la desviación de $180^\circ$ en el ángulo entre ellos en el marco del satélite se encuentra fácilmente, en primer orden en $\eta:
$$\Delta\Theta = 2\,\eta\,\sin\theta\approx 2\,\eta\tag{1}$$
donde $\theta$ es el ángulo entre el rayo de luz y el impulso en el marco de la Tierra. Con la Luna moviéndose siempre tangencialmente (casi), $\theta \approx 90^\circ$ en todo momento.
Para la rapidez del movimiento de la Luna a $1{\rm km\,s^{-1}}$ en relación con la Tierra, esta aberración equivale a $7\times10^{-6}$ radianes, o alrededor de $1.4$ segundos de arco. Esto equivale a un error de apuntar de alrededor de $2.8{\rm km}$ en el viaje de regreso a la Tierra. Probablemente esto no afectaría demasiado a los retroreflectores de Apolo ya que el haz láser tiene cerca de $20{\rm km}$ de diámetro para cuando llega a la Tierra, pero se podría esperar alguna mejora en la relación señal-ruido si se tiene en cuenta el error de apuntar. El error se puede anular desplazando las caras de los cubos de esquina reflectantes para que la desviación total de la reflexión de $180^\circ$ sea de $1.4$ segundos de arco en la dirección adecuada; No estoy seguro si esto se hace o no para los retroreflectores de la Luna por las razones citadas anteriormente. $1.4$ segundos de arco es aproximadamente el límite de precisión de los cubos de esquina estándar (cubos de esquina huecos, que comprenden tres espejos ortogonales separados que se posicionan a mano antes de pegarlos para minimizar el error); ver por ejemplo, la oferta de cubos de esquina huecos de Edmund Optics aquí. Presumiblemente, los retroreflectores de la Luna son mejores que esto y el pequeño error valdrá la pena tenerlo en cuenta en futuros sistemas.
Un caso muy similar donde sé que la aberración óptica se tiene en cuenta sistemáticamente es en los retroreflectores LAGEOS. Ver:
Los satélites LAGEOS orbitan a una altitud de aproximadamente $6,000{\rm km}$ (aproximadamente dos radios terrestres desde el centro de la Tierra), por lo tanto, su movimiento relativo a la Tierra es de aproximadamente $1/\sqrt{2}$ veces la velocidad orbital de LEO de $7.8{\rm km\,s^{-1}}$, es decir, la aberración de (1) es de alrededor de 4 segundos de arco, lo que implica un error de apuntar de alrededor de 110 metros para cuando el láser reflejado llega a la Tierra. Vale la pena desplazar las caras de los cubos de esquina para estos dispositivos, ya que los diámetros de los láser son mucho más pequeños, y de hecho esto es precisamente lo que se hace, si se observa el documento anterior.
