Representa $x^3 +2x$ como serie de potencias

Question

Bueno, es bastante extraño para mí ver esta pregunta, ¿la función ya es una serie de potencias, no es así? ¿Me estoy perdiendo el propósito del ejercicio?

Answer 1

Al considerar las derivadas de $x^3+2x$ se obtiene la representación general de la serie de potencias alrededor de $x=a$ como $$a^3+2a+(3a^2+2)(x-a)+3a(x-a)^2+(x-a)^3$$

Answer 2

Una serie de potencias es una serie infinita de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$. Si para alguna función $f$ y algún conjunto $D$, $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\quad x\in D $$ decimos que la RHS es la serie de potencias de $f$ en $x_0$.

Cuando $f$ es una función polinómica de la forma $f(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m$, su serie de potencias en $x_0=0$ es $f$ en sí misma.

En general, necesitarás encontrar los coeficientes $a_n$ cuando $x_0\ne 0$. Pero el teorema de Taylor te dice que tiene algo que ver con $f^{(n)}(x_0)$.